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Questa costante (valore di (p all'infinito) è senza influenza sopra V(p, e si 

 può supporre eguale a zero (il che equivale a porre (p al posto della dif- 

 ferenza (p — C). Allora la (12) vale allo stesso modo tanto per un campo fi- 

 nito racchiuso da un certo contorno, quanto per un campo indefinito 

 esterno ad una superficie o sistema di superficie (§ 2) ; e in quest' ultimo 

 caso essa dimostra che all' infinito <p e V(p tendono a zero in modo che 

 denotando al solito con R il raggio di 2, il prodotto R(p ed il prodotto di 

 R 2 per il tensore di V<p convergono ad un limite finito (i rappresentato da 



r=-h(fa dt +-f$ d *)- 



Vale a dire che, in generale, (p diviene infinitesima di 1° ordine e V(p di- 

 viene infinitesimo di 2° ordine. Nel caso poi che sia (i = si trova che (p 

 diviene infinitesima di 2° ordine e V(p di 3° ordine. 



Consideriamo in particolare il caso che il campo comprenda tutto quanto 

 lo spazio. — Allora viene a mancare l'integrale di contorno nel secondo 

 membro della (12) il quale si riduce all' integrale di spazio esteso alle re- 

 gioni dove V 2 (p è diverso da zero. — Se queste non esistono, cioè se (p 

 è anche armonica dappertutto, il secondo membro si riduce a zero ; onde 

 si' ha la nota proposizione : che una funzione regolare in tutto lo spazio 

 insieme con le sue derivate prime (evanescenti all'infinito) e soggetta pure 

 alla condizione di essere armonica in tutto lo spazio non può essere che 

 una costante, da cui segue che una distribuzione vettoriale regolare ed 

 armonica in tutto lo spazio ed evanescente all' infinito deve esser nulla- 

 dappertutto , che é quanto dire che non può esistere. 



Se si ammette la possibile esistenza di superficie di discontinuità per 

 i valori delle derivate della <p, cioè di V(p, ed anche della stessa <p, si 

 hanno al posto degl' integrali di contorno i termini risultanti dall' integra- 

 zione estesa alle due faccie di cotali superfìcie (§ 4). — E cosi l'espres- 

 sione di <p data dalla (12) viene in generale, per un campo indefinito, a 

 risultare di tre parti distinte ed indipendenti, le quali corrispondono rispet- 

 tivamente all'esistenza di regioni in cui V z (p è diverso da zero, di super- 

 fìcie di discontinuità per le derivate di (p e di simili per <p, cioè 



— — / — ™dx , — — / - ^da , — / ó^-da 

 \k j r A7t J r dn 4jtJ T dn 



dove r e ^ stanno a significare le differenze (—-)■ — ( — ) e 0. — 9 dei 

 In T V>n/ l Vw 2 ri r2 



valori relativi alle due facce suddette, l'indice 1 designando la faccia cui 



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