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 Si avrà poi per una qualunque linea chiusa e 



J|GUs| = 4;t2' ± i 



dove la somma 2' si riferisce alle sole linee L concatenate con e, e il 

 doppio segno é in relazione col verso. — Considerando un numero cre- 

 scente di linee L che corrano via via più vicine mentre le i impiccoliscono, 

 ed alle linee sostituendo dei filamenti e delle striscie il cui complesso 

 venga a costituire certe regioni e superfìcie, si ritorna, con un processo 

 inverso al precedente, alle distribuzioni continue (g, li) ed alle espressioni 

 (13') e (17') per U e G. 



— Vengo ora a brevi considerazioni circa gli elementi determina- 

 tivi di un campo vettoriale. — Nella (12') dalla quale vedemmo (§ 8) po- 

 tersi dedurre l'espressione di A nella forma — V<fi -+- jVUj precedente- 

 mente studiata, la determinazione di A é ricondotta in sostanza a quella 

 delle sue componenti scalari, ciascuna delle quali vien data separatamente 

 da una delle equazioni scalari analoghe alla (12) da cui risulta la (12'), e 

 vien data in funzione del suo V 2 e dei valori che assumono sul contorno 

 essa e la sua derivata secondo la normale. Qui, come é noto, vi é più di 

 quanto occorre alla determinazione, bastando per questa, oltre i valori del 

 V 2 nel campo, i valori sul contorno della sola funzione, o della funzione 

 sopra una parte del contorno e della derivata normale sul resto, o infine 

 della sola derivata normale su tutto il contorno, nel qual ultimo caso la 

 funzione é determinata a meno di una costante. Onde segue che anche 

 nella rappresentazione per mezzo di — V(p -+- jVUj vi ha più di quanto 

 occorre alla determinazione di A. — Alla stessa conclusione si può arri- 

 vare osservando che dall'essere in tutto lo spazio t' jVUj — V<£>, (p e U 

 risultano in t' subordinati l'uno all'altro; e poiché i valori di (p ed U in 

 t si riattaccano con continuità sopra <r ai valori in x\ ne risulta anche in 

 x una dipendenza: onde dato l'uno, p. es. U, per mezzo dei valori di 

 g, 11, ne viene un contributo per la determinazione di <fi, per la quale non 

 sarà più necessario che sieno dati 6 e £ dappertutto. 



Vediamo ora quali sieno gli elementi cui può ridursi tale determina- 

 zione. — Supponiamo dapprima che al posto di A si abbia un vettore 

 armonico che indicherò con I. Essendo in tal caso = e g = 0, avremmo 



1 ry* V='-j™ con C = |nl|,l. = inl|. 

 Dimostriamo ora che se si pone l' una o l'altra delle condizioni C = 



