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ovvero li = aggiungendo nel primo caso che I sia lamellare puro, cioè 

 che si abbia /|Irfs| — per ogni linea chiusa, e nel secondo caso che sia 

 solenoidale puro, cioè che si abbia /|nl|cfo- = per ogni superfìcie chiusa, 

 I sarà necessariamente nullo in tutto il campo. 



Infatti nel primo caso I dovrebbe ammettere in x una funzione poten- 

 ziale armonica e monodroma la quale per la condizione C — dovrebbe 

 avere sopra a eguale a zero in tutti i punti la derivata secondo la nor- 

 male ; e una tal funzione, come si sa, non può essere che una costante, 

 e quindi I non può che esser nullo in t. — Nel secondo caso si avrà 

 U = e O = in tutto lo spazio, F = in t', I == F = — V(p in t. La 

 funzione (p dovrebbe essere armonica in t, prendere un valore costante 

 per ciascuna delle superfìcie che eventualmente costituiscono il contorno a 

 (poiché F = in z' e quindi <^ = cost. in ciascuna delle parti distinte di cui 

 t' risulta (§ 2)), ed inoltre, per la condizione posta, soddisfare per ognuna 



di 



esse all'equazione / — da = 0. Una funzione siffatta non può essere 



anch' essa che una costante, e si ha ancora I = in tutto t. 



Cosi resta dimostrata l'enunciata proposizione. — Ed ora fondandoci 

 su questa possiamo stabilire che alla determinazione di un campo vetto- 

 riale A basta che oltre i valori di e g nel campo sieno dati : 



a) i valori di t, sul contorno a ed inoltre, nel caso che il campo sia 

 ciclico, i singoli valori X delle circuitazioni /|AcZs| per un sistema di linee 

 caratteristiche (§ 2) ; 



oppure : 



b) i valori di 11 sul contorno a ed inoltre, nel caso che a sia mul- 

 tiplo (§ 2), i singoli valori (jl del flusso /|nA|c?<7 per le superficie interne Oi. 



Poiché, detti A', A" due vettori pei quali e g fossero gli stessi ed 

 inoltre fossero eguali i valori a) o i valori b) e posto A' — A" = I, il vet- 

 tore I sarebbe armonico e soddisferebbe nel caso a) alla condizione C=0 

 in a ed a quella di essere lamellare puro (perché /|Ic?s| risultando per 

 l'assegnazione dei valori X eguale a zero per ognuna delle linee caratte- 

 ristiche, sarebbe nullo per ogni altra linea chiusa), e nel caso b) alla con- 

 dizione li = in a ed a quella di essere solenoidale puro (poiché per l'as- 

 segnazione dei valori {i, f\iil\da risulterebbe nullo per le singole superfì- 

 cie ai e quindi per ogni altra superficie chiusa). Si nell'uno che nell'altro 

 caso I non potrebbe che esser nullo, e dovrebbe essere quindi A' = A" in 

 tutto t. — Ciò vuol dire che non possono esistere due vettori differenti 

 che soddisfino alle condizioni poste, e che esse perciò bastano alla com- 

 pleta determinazione di A. 



È poi facile vedere per qual via si possa, nei due casi, procedere a 

 tale determinazione. 



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