(3S) 



Wiskunde. - - De Heer Schoute biedt een opstel aan van den 

 Heer W. A. Versluys: „Over den rang der snijkromme eau 



twee algebraïsche oppervlakken." 



(Mede aangeboden door den Heer J. G. Kluyver). 



1. In deze mededeeling stel ik mij voor te bewijzen en eenige 

 toepassingen te geven van de voor mij nieuwe betrekkin»' 



r = w^ n 3 -f- m 2 w, — 2ó — 3/, (A) 



waarin r is de rang der snijkromme s van 2 algebraïsche opper- 

 vlakken 1 en 2 , respectievelijk van den graad n l en n s en van 

 de klasse m, en m 3 , en bezittend in d-punten oen gewoon contact 

 en in /-punten een stationnair contact. 



Vroeger is door mij bewezen l ) de volgende uitbreiding van een 

 bekende formule 2 ) 



r = n, n 2 (n, + n 3 - 2) - 2 (nj, +« , g, + <0 - 3 (« , », + n, », +-/), • (-B) 

 waarin g„ g 2 , v„ i> 3 de graad der knoop en keerkrommen der beide 

 oppervlakken O x en 3 voorstellen. Formule (/l) zal eerst bewezen 

 worden voor het geval, dat 1 en 3 ontwikkelbare oppervlakken 

 zijn. Wil men formule (B) toepassen op ontwikkelbare oppervlakken 

 dan moet aan de graad g, en £ 2 van de knoopkrommen nog toege- 

 voegd worden de aantallen dubbelbeschrijvenden ai x en a>„, en aan 

 de graad i>, en r\ 2 van de keerkrommen de aantallen stationnaire 

 beschrijvenden t\ en v 3 . Formule (B) gaat dan over in : 



r = n, n, («, + n 3 - 2) - 2 [n, (g s + co,) + b, (g, + tuj +'<ƒ) — 



- 8 {n, K +«,) + «, (»,.+ ■«,) +XJ • • • • (O 



2. Zij A't) het tweede pooloppervlak van het ontaarde oppervlak 

 O, -|- 3 genomen voor het willekeurige punt P. A 2 is van den 

 graad (n l -\- n 3 — 2) en ontmoet de snijkromme .v van 1 en 3 , 

 die van den graad n l n 2 is, in n ï n 3 (n 1 -)- n. 2 — 2) punten. 



Deze snijpunten zijn 1" de drievoudige punten van O l -\- 3 waar- 

 door de snijkromme s gaat en 2" de punten van s waarvoor het 

 raakvlak aan een der beide oppervlakken door P gaat. De drievoudige 

 punten van O x -\- 3 waardoor de snijkromme s gaat zijn de punten 

 ivaarin een dubbellijn van een der beide oppervlakken het andere 

 oppervlak ontmoet. Deze drievoudige punten zijn dus. 



1°. De (n 1 v 3 -\- w 2 r,) punten waarin een keerkromme van een der 

 oppervlakken het andere ontmoet. Deze punten zijn keerpunten op 

 de snijkromme s, zij worden door Crkmona aangeduid als punten X en 



!) Versluys, Mémoires de Liége, 3rae serie, t. VI, 1904. Sur les nombres 

 Plückériens etc. 



2 ) E. Pascal, Rep. di Mat. Sup. II, p- 325. 



