(ü ) 



punten met /. De beschrijvende / van K" ontmoet O u dus ook s, 

 n keer ; door ieder dezer snijpunten gaan 2 opeenvolgende raaklijnen 

 van s. Dit geeft dus reeds 2 n raaklijnen van s, die / ontmoeten. 



Raaklijnen van s, die tevens beschrijvenden zijn van K' 2 , gaan 

 door den top T van AT 2 en zijn als raaklijnen van s ook raaklijnen 

 van 1} en dus gelegen op den raakkegel van X die T tot top heeft. 

 Omgekeerd is iedere gemeenschappelijke beschrijvende van de 2 

 kegels K' 2 en K een beschrijvende van K 3 die met O l dus ook met 

 s 2 samenvallende punten gemeen heeft. Een rechte, die met s 2 

 samenvallende punten gemeen heeft, is of een raaklijn van s of gaat 

 door een dubbelpunt van s. De gemeenschappelijke beschrijvenden 

 van de kegels K" 2 en K zijn dus of raaklijnen van s of gaan door 

 dubbelpunten van s. Daar de graad van den raakkegel K gelijk is 

 aan de klasse m van l , it> het aantal gemeenschappelijke beschrij- 

 venden 2m. Het aantal raaklijnen van s dat in den top T ontmoet? 

 zal dus zijn 2to verminderd met een nog te bepalen getal voor de 

 gemeenschappelijke beschrijvenden, die door een dubbelpunt van s gaan. 



Indien K' 2 in een punt d een gewoon contact heeft met 1 dan 

 is het gemeenschappelijk raakvlak n in ó een raakvlak van O x dat 

 door T gaat. jr is dus ook een raakvlak aan den kegel K en wel 

 volgens de lijn TV De 2 kegels K 3 en K hebben dus volgens de 

 gemeenschappelijke beschrijvende TV een gemeenschappelijk raakvlak. 

 De lijn TV moet dus voor 2 gemeenschappelijke beschrijvenden tellen 

 van de kegels K 3 en K. Een punt d is een knoop van s en behou- 

 dens in zeer bijzondere gevallen zullen de 2 raaklijnen van s in ó 

 niet samenvallen met TV Voor ieder punt 6 moet dus het aantal 

 raaklijnen wan s dat door T gaat verminderd worden met 2. 



Dat voor ieder punt / waarin 0^ en K' 2 een stationair contact 

 hebben, het aantal beschrijvenden van K 3 die raken aan s, vermin- 

 derd moet worden niet 3, blijkt uit het volgende voorbeeld. Zij 1 

 ook een quadratiseh oppervlak en zij de snijkromme s een biqua- 

 dratische niet ontaarde kromme R* met een keerpunt -/■ Dan telt 

 de lijn T'y, al minstens voor 2 gemeenschappelijke beschrijvenden 

 van de kegels K 3 en K en is weer geen raaklijn in / aan s of R*. 

 Telde nu T/ slechts voor 2 gemeenschappelijke beschrijvenden dan 

 zouden de kegels K 3 en K nog 2 andere beschrijvenden gemeen 

 hebben. Deze 2 laatste kunnen niet 2 opeenvolgende beschrijvenden 

 zijn daar dan R" 2 dubbelpunten zou bezitten en dus moest ontaar- 

 den. Nu is licht in te zien dat deze 2 overblijvende beschrijvenden, 

 raaklijnen aan R' of s zijn in punten waarvoor het osculatievlak een 

 stationnair vlak is. A 4 zou dus 2 stationnaire vlakken a moeien 

 bezitten, terwijl een R f met keerpunt slechts een stationnair vlak « 



