(42 ) 



bezit '). De rechte 7 1 / moet dus voor 3 gemeenschappelijke beschrij- 

 vende!] van A 2 en K tellen. Het aantal raaklijnen van s dat ontmoet 

 de lijn /, dus de rang van s, is bijgevolg 



r = 2« + 2m — 2«f — 3/ . 



6. De wederkeerige poolfiguur s' van de snijkromme s van A' 2 

 en (\ is een ontwikkelbaar regelvlak omschreven aan een kegelsnede 

 c 2 en aan een oppervlak O' van den graad ra en van de klasse n, 

 terwijl de kegelsnede c a het oppervlak O' 6 keer raakt en •/ keer 

 osculeert. Als men voor de kegelsnede c' 2 neemt den imaginairen cirkel 

 op oneindig wordt het ontwikkelbaar regelvlak s' het ontwikkelbaar 

 tbcaalvlak van O'. De rang van s' is dezelfde als die van s. Men 

 heeft dus de stelling. 



Het ontwikkelbaar focaalvlak van een oppervlak van den (/raad m 

 en van de klasse n dat den imaginairen cirkel op oneindig ó keer raakt 

 en / keer osculeert is van den rang 



r = 2m + 2n - 2<f — 3y k . 



Is O, een ontwikkelbaar regelvlak dan is het raakpunt van een 

 gemeenschappelijk raakvlak, dat een gewoon vlak van (> 1 is, altijd 

 een knoop van s 2 ). De ontwikkelbare oppervlakken K 2 en 1 zullen 

 slechts dan een stationnair contact hebben in een punt x fds het 

 gemeenschappelijk raakvlak een stationnair vlak « van 1 is. De 

 lijn Ti telt dus voor 4 snijlijnen van den kegel K 2 met den in m 

 vlakken ontaarden raakkegel K. Het is licht in te zien dat de lijn 

 T% nu tevens de raaklijn is aan s in het bijzondere keerpunt x dat 

 een singulariteit is van de orde 2 van de rang 1 en van de klasse 

 3 s ). Een stationnair contact x geeft dus aanleiding tot 4 snijlijnen 

 van A* 2 met K waarvan slechts 1 een gewone raaklijn is van s die 

 op 7v 2 ligt. Ieder punt x vermindert dus nu ook den rang van s 

 met 3. De weerkeerige poolfiguur van 0^ is een kromme O' van 

 den graad m en van de klasse n. Ieder gemeenschappelijk raakvlak 

 van A' 2 en 1 wordt getransformeerd in een gemeenschappelijk punt 

 van c 2 en O'. Is het gemeenschappelijk vlak een stationnair vlak « van 

 O x , dan is het gemeenschappelijk punt een keerpunt op de kromme 

 O'. Men heeft dus de stelling: 



Het ontwikkelbaar focaalvlak van een vlakke of ruimtekromme 

 van den graad m en van de klasse n en waarvan 6 geivone punten 

 en X keerpunten liggen op den imaginairen cirkel op oneindig is van 

 den rang 



i) E. Pascal, loc. cit. p. 363. 



2 ) Versluys, Mémoires de Liège, 3me série t. VI. loc. cit. 



s ) Halphen, Bul. de la Soc. Mat. de France, t. VI, p. 10. 



