( 52 ) 



hun raakpunt in Z hebben, is de na. pi. der raakpunten I\ van de 

 rechten t t , die Z bevatten, een kromme van den graad Sn (n — 2)-|-2, 

 met dubbelpunt in Z. 



Elke dier rechten t, snijdt het door haar geoscilleerde oppervlak F" nog 

 in (n — 3) punten Q. De m. pi. der punten Q is een kromme van den 

 graad Sn(n — 2)(n — 3)4-(» 2 -f 2)(« — 3) of 2(n — 3)(n— l)(2n— 1). 

 Immers, door Z gaan (/t 2 -f 2) (« — 3) raaklijnen t s , welke het door 

 Z aangewezen oppervlak elders oscnleeren '). 



Om het aantal e der coïncidenties van P z met Q te vinden, gebruik 

 ik de bekende formule 



e = p -f q — g, 



welke te voorschijn komt, als men de punten paren P, Q door vlakken 

 van een bundel projecteert. Daar elk punt P tot (« — 3) paren behoort, 

 is ^ = (3« 2 — 6/z. -{- 2) (?ï — 3). Verder is q = 2 (n — 3)(»— 1) (2n— 1), 

 terwijl het aantal rechten PQ rustende op een as natuurlijk gelijk is 

 aan 3» (n — 2) (n — 3). Dus is f = 2 (n — 3) (2m 2 — 3n -)- 2) ; even 

 groot is nu het aantal vierpuntige raaklijnen door een gegeven punt. 



Het aantal rechten t t in een gegeven vlak is even groot als het 

 aantal undulatiepunten op de krommen c" van een bundel ; dit aantal 

 heb ik in een vorige mededeeling bepaald 2 ). 



De vierpuntige raaklijnen vormen een congruentie van de orde 



9 



2 (n — 3) (2?j 2 — Zn -f- 2) en van de klasse — (n — 3)(m s -|-?j 2 — 8?i-)-4). 



Li 



4. Wil men de bovenstaande coïncidentieformule toepassen op de 

 paren van snijpunten Q, Q' op de rechten t t door Z, dan heeft 

 men te substitueeren p = q = 2 (n — 3) (n — 1 ) (2n — 1) (n — 4) en 

 q — 3?; {n — 2) {n — 3) (n — 4), want elk punt Q behoort tot {n — 4) 

 paren, en elke rechte t 3 draagt (n — 3) (n — 4) paren. Men vindt 

 dan e = (n — 3) (n — 4) (5?z' — 6n -\- 4), dus het aantal raaklijnen 

 <3,2 door het punt Z. 



In de boven aangehaalde mededeeling heb ik het aantal rechten 

 bepaald, welke met een kromme van een bundel (c") een driepuntige 

 en tevens een tweepuntige aanraking hebben. 



De twee-driepuntige raaklijnen vormen een congruentie van de orde 

 (n — 3) (n — 4) (5n q — 6n -|- 4) en van de klasse 



— ( n _ 4) (n _ 3)' (iQ n * _|_ 35» 3 — 21/i 2 — 8Qn 4- 20). 



1 ) Zie Cremona — Gurtze, Oberflachen, blz. 66. 



2 ) „Over lineaire stelsels van algebraïsche vlakke krommen". (Ziüingsverslag van 

 22 April 1905). 



