( 53 ) 



5. Elke hoofdraaklijn t s , die haar osculatiepunt heeft in een punt 

 *S der basiskromme, draagt nog (n — 3) snijpunten Q met het door 

 haar geosculeerde oppervlak F". Daar ,S' raakpunt is van 11 vier- 

 puntige raaklijnen, zal de in.pl der punten Q in S een elfvoudig 

 punt hebben. Daar een willekeurig vlak door S blijkbaar 3 (n — 3) 

 punten Q bevat (§1), is de graad der kromme (Q) gelijk aan (3« -f- 2). 



Bij toepassing van de formule e =p -f- q — g op de paren Q, Q', 

 welke de kubisehe kegel met top ,S' draagt, heeft men dus te stellen 

 p — q = (Sn + 2) (ra — 4) en g = 3 (ra — 3) (ra — 4). Dan wordt 

 8 — (n — 4) (3« -j- 13). Dit is dus het aantal raaklijnen fe )8 , waar- 

 voor het osculatiepunt in S ligt. 



Anders gezegd, a is een (n — 4) (3« -(- 13)-voudige kromme op 

 de m. pi. [K„] der osculatiepunten van raaklijnen tz,i aan opper- 

 vlakken van (F"). Nu vormen de osculatiepunten der rechten t 3 o 

 van een F" een kromme van den graad ra (n — 4)(3w a + 5« — 24) 1 ). 

 Met een F" van den bundel heeft [i?,] dus een doorsnede van den graad 

 n(n— 4) (3ra 2 +5 n— 24)+?i' (n—i) (3n-\-13)—n (»— 4)(6?j 2 +18n— 24) 

 gemeen. 



Z)ö osculatiepunten der drie-twee puntig e raaklijnen van (F") vormen 

 een oppervlak van den graad 6 (n — 1) (n — 4) (n + 4). 



6. Om den graad te bepalen van den kegel, gevormd door de 

 dubbelraaklijnen van (F"), waarvan een raakpunt in S op de basis- 

 kromme o ligt, merken wij op dat de raak lijn s in S aan o door 

 den bundel gesneden wordt volgens een involutie van den graad 

 (n — 2). Haar 2(n — 3) dubbelpunten zijn raakpunten van dubbel- 

 raaklijnen die tevens in S aanraken. Dus is s een 2(n — 3)-voudige 

 ribbe van den bedoelden kegel. 



In elk vlak <p door s kan men uit S n(n — 1) — 6 raaklijnen 

 trekken aan de snijkromme van met het oppervlak F", dat <J> in 

 S aanraakt. Hieruit volgt dat het bedoelde kegelvlak van den graad 

 (ra — 3) (ra + 4) is. 



De m. pi. van de tweede raakpunten R, der ribben van dezen 

 kegel heeft blijkbaar in *S een elfvoudig punt, waar ze geraakt 

 wordt door de elf rechten t 4 . De kromme (R 7 ) is dus van den 

 graad (n — 3) (ra -f 4) 4- 11 = n' -f ra — 1. 



Elke kegelribbe snijdt het door haar dubbel aangeraakte oppervlak 

 nog in (n — 4) punten V. De m. pi. dezer punten gaat (n — 4)(3?«-J-13) 

 maal door S, waar ze wordt aangeraakt door de rechten t 3 *, welke 

 in .S'osculeeren. Daar elk vlak door S bovendien nog (n"-\-n — 12) (ra — 4* 



x ) Zie o.a. mijne mededeeling, „Eenige kenmerkende getallen van een algebraisch 

 oppervlak" (Zittingsverslag van 22 April 1905). 



