( 163 ) 



AP.ZP 

 Voor de functie - -= G [k (* a — <)] = (V(r) behooren bij t — /„ 



of' t = ook de waarden G„ = en 6r„ = -}- a, zoodat voor deze 



functie, daar zij voldoet aan de differentiaalvergelijking ^'-(-c 0=0, 

 dezelfde ontwikkeling geldt als voor F{r), maar terwijl in de reeks 

 voor APZP l de afgeleiden zijn genomen naar toenemenden tijd, zijn 

 zij in die voor AP t ZP op te vatten naar afnemenden tijd. Bedienen 



wij ons van è, 's, z ul enz., om afgeleiden van z aan te geven naar 

 toenemenden tijd, dan moeten de teekens der oneven afgeleiden van 

 s in de ontwikkeling van hP^ZP worden omgekeerd. Men verkrijgt 

 voor AP^ZP derhalve: 



LP.ZP 1 X 1 T 3 T 4 1 T 5 , Tt T 6 



[/ P "2 1 2 ~ 2 3/^~ a 4/^2 K ~* ~*' 5/ y " "~ 2 '6/" 1 " 



+ -i (13, 2 r 3 + 10*,' - 5*,"" ■ - *,') ^ + ƒ ^ ffvm (t _ u) 



du 



en door samenvoeging der beide, voor t = r s 



J \/p " 1 2 8/" 1 " 1 ** * J 4/ + 



+ [^(*,'-^J+^(V-32 1 )j^-j(3V,-2*. m )-(3Mi-2*» I ' ,I )j^ + 



ri3^j-10V-5^v -s,' 13*^ +.10^-5*^ -VI r.» 



2 " + ~ ~2~ J7/ + 



+ r^{^""(T-«0 + G™(z-u)\du. 



u 



De termen der even machten van r 3 in deze formule kunnen 

 blijkbaar worden omgezet in reeksen van termen der hoogere oneven 

 machten van r 8 . Om dit te doen leid ik eene reeksontwikkeling af, 

 door welke dit doel in 't algemeen wordt bereikt voor het verschil 

 /{,'/) — ƒ(■'-') bij eene willekeurige functie, die tusschen x en y geen e 



y + ;c 



singulariteiten heeft. Laat hier y — x door x, - door m zijn 



Li 



+7, 



aangegeven, dan is: ƒ(.'/)—ƒ(.'■)= |./"('" ■+ ") d " en na integreeren 



- r A +T/ a 



bij gedeelten, ƒ(»—ƒ<» = y [ƒ' (y) +./" (*)] — J u ƒ" f> + ») du. 



