(168 ) 



de klasse )\ en m a zijn, zoo is r x m 3 het aantal gemeenschappelijke 

 raaklijnen van p l en s 3 dus ook van C\ en 3 . 



Als 3 een willekeurig ontwikkelbaar regelvJak is, zal een raak- 

 lijn t van C\ tevens raken aan 3 indien t ligt in een raakvlak 

 van 3 , en omgekeerd. Laat 0\ en C' 3 de weerkeerige pool figuren 

 zijn van C\ en 3 . Met ieder vlak van 3> dat door een raaklijn t 

 van d gaat, komt overeen een punt van de kromme C' 3 , dat op een 

 beschrijvende t' van het ontwikkelbaar regelvlak 0\ ligt en omge- 

 keerd. Deze laatste punten zijn de snijpunten van C' 3 met 0\ en 

 zijn dus r l m, in aantal, daar 0\ van den rang r x en C" 2 van den 

 graad to 2 is. Het aantal der vlakken van 3 , die door raaklijnen 

 van Cj gaan is dus ook 9^ m s , of het aantal gemeenschappelijke 

 raaklijnen van Cj en 2 is ?\ m 2 . 



Dat voor een willekeurige ruimte kromme (7, en voor een wille- 

 keurig oppervlak 3 , het aantal gemeenschappelijke raaklijnen is j^ m 3 , 

 blijkt op een allereenvoudigste wijze als volgt. Alle raaklijnen aan 

 O t vormen een complex van den graad m 3 . De raaklijnen van C\ 

 vormen een regelvlak van den graad ?\. Het aantal der stralen, die 

 het regelvlak en het complex gemeen hebben is, volgens Halphen, 

 r i m 3 '), waarmede de stelling ook voor het algemeene geval recht- 

 streeks bewezen is. 



§ 3. Uit de nu bewezen stelling zullen eenige gevolgen afgeleid 

 worden, betreffende het contact van een onwikkelbaar regelvlak met 

 een willekeurig oppervlak. 



Zij C\ een ruimte kubiek C' en O 4 het door haar raaklijnen 

 gevormde ontwikkelbaar regelvlak. Zij 3 een algebraïsch oppervlak 

 van den graad n 3> bezittend een keer- en een knoop-kromme respec- 

 tievelijk van den graad r 2 en | 2 en laat O' en 3 elkaar in ó 

 punten gewoon en in -/ punten stationnair raken, terwijl geen der 

 raaklijnen van C' een hoofd tangent van 3 is, en C 8 niet aan 3 

 raakt. Het aantal gemeenschappelijke raaklijnen van C 3 en 3 is, volgens 

 § 2, ook voor dezen bijzonderen stand ?\ m 3 of 4 m 2 . Deze gemeenschap- 

 pelijke raaklijnen van C 3 en 3 zijn: 1°. De raaklijnen van C 3 , die 

 tevens raken aan de snijkromme s van O 4 en 3 en 2°. de raak- 

 lijnen van C% die aan 3 raken in de punten ó en / waar de 

 oppervlakken O 4 en 3 elkaar raken. Stel dat iedere gemeenschap- 

 pelijke raaklijn van C 3 en 3 gaande door een gewoon contactpunt 

 6 voor x gemeenschappelijke raaklijnen en dat iedere gemeenschap- 

 pelijke raaklijn door een stationnair contactpunt ■/> y maa l moet 



l ) R. Sturm, Linien Geometrie, I p. 44. 



