( 169 ) 



tellen. Het aantal gemeenschappelijke raaklijnen van C n en s zal 

 nu zijn 



4 m 3 — * ó — y /. 



Zij K het ontwikkelbaar regelvlak gevormd door de raaklijnen 

 van s. Zij / een gemeenschappelijke raaklijn van C n en 2 , die 

 C 3 raakt in R en s raakt in P. Een der op / volgende raaklijnen 

 van C" ontmoet O, in 2 reëele punten van s, die op het raakpunt 

 P volgen, daar volgens veronderstelling / geen hoofdtangent van 2 

 is. Het osculatievlak V van C s in R bevat dus 4 opeenvolgende 

 punten van s en is dus een stationnair osculatievlak a van s in P. 

 Het vlak V is bijgevolg ook een stationnair raakvlak van K langs 

 de beschrijvende l. In 't punt it heeft C 3 dus 3 opeenvolgende 

 punten en niet meer met K gemeen. 



De 3?i 2 punten waarin C 3 2 ontmoet zijn keerpunten /? van s 1 ) 

 en zijn dus op 't ontwikkelbaar regelvlak K drievoudige punten. 

 Ieder dezer 3« 2 punten $ telt dus minstens voor 3 snijpunten van 

 C 3 met K. Elk dezer punten /3 telt voor niet meer dan 3 snijpunten 

 daar aangenomen is, dat C z niet raakt aan 2 en de raaklijn in 

 i? aan C n dus niet ligt in het drievoudige raakvlak van K in /?, 

 welk drievoudig raakvlak samenvalt met het osculatievlak van s in 

 /3 of met het raakvlak van 3 in /J. 



C 3 ontmoet iT alleen in de 4 m, ■ — * 6 — y x punten R en in de 

 3rt„ punten ;?, daar iedere raaklijn aan s ligt in een osculatievlak 

 van C 3 en door een punt van C 3 kan geen vlak gaan, dat C 3 nog 

 elders osculeert. De graad van K of de rang van s is 

 r = im t + 3n 2 — 2cf — 3x 3 ). 



Het aantal snijpunten van C 3 en -ff is dus 

 3(4m 2 + 3^-2d-3 X ). 



Daar de eenige snijpunten van C s en K de driemaal tellende 

 punten R en /? zijn, heeft men de betrekking 



3(4m 2 + 3« 2 _ 2cf - 3 X ) = 3 X 3« 2 + 3(4m 3 - «f - y X ) 

 waaruit volgt 



« = 2, ?/ = 3, 

 of in woorden : 



Als het ontwikkelbaar regelvlak O* en een willekeurig oppervlak 2 

 een gewoon contact hebben, raken 2 opeenvolgende besclirijvenden van 

 O 4, aan 6> . 



1 ) Versluys, Mém. de Liége. 3me série, T. VI, 1905. Sur les nombres Plücké- 

 riens etc. 



2 ) Versluys, Kon. Akademie v. Wet. Ie Amsterdam, Verslag der Vergadering 

 van 27 Mei 1905. 



