( 170 ) 



Als liet ontioikkelbaar regelvlak O 4 en een willekeurig oppervlak <>„ 

 een stationnair contact hebben, raken 3 opeenvolgende beschrijvenden 

 van O 4 aan <J„. 



Deze stellingen zijn ook nog juist als het ontwikkel baar regelvlak 

 een kegel is 1 ). 



De twee bovenstaande stellingen, hun omgekeerden en eenige 

 bijzondere gevallen zullen nu nog algebraïsch bewezen worden. 



§ 4. Zij Ci een rationale ruimtekromme van den rang i\ en O 

 een oppervlak van den graad n, dat geen dubbelkroinmen bezit. Laat 



aai -(•- by -\- cz -\- d = 0, 

 voorstellen het osculatievlak van C\ ; n, b, c en (/ zijn geheele 

 rationale algebraïsche functies van /. Door differentiatie vindt men 

 voor een willekeurige raaklijn van C t , vergelijkingen van den vorm 



«i *' + b i y + <-■! - + >h = o, 

 « a ~ + ^ 2 // + « 8 - + <h = o. 



Hieruit oplossende y en s in functie van x en /, vindt men 



Ax + j5 /A« + E 



* = '—c-' a= —c-' {A) 



waarin A,B,(',D en E functies in t zijn van den graad r,. Sub- 

 stitueert men de waarden (A) in de vergelijking van 't oppervlak O, 

 dan verkrijgt men een vergelijking (Z>), die in x is van den graad n 

 en in t is van den graad n i\. Voor iedere waarde van t geeft deze 

 vergelijking (B) de n waarden van x behoorende bij de snijpunten van 

 O met een raaklijn / aan C l . Als 2 dezer waarden van x samenvallen, 

 zal de raaklijn / het oppervlak O in 2 samenvallende punten ont- 

 moeten en daar O, volgens veronderstelling, geen dubbelkrommen 

 bezit, zoo zal de raaklijn / dan ook een raaklijn van zijn. Uit- 

 gezonderd zijn die. raaklijnen van C, welke de X-as loodrecht 

 kruisen, daar voor een zoodanige lijn alle snijpunten met dezelfde 

 x bezitten, en dus alle wortels x samenvallen zonder dat de snij- 

 punten zelf samenvallen. Iedere lijn die de A'-as loodrecht kruist 

 ontmoet de lijn op oneindig in 't vlak x = 0. Het aantal dezer 

 bijzondere raaklijnen van C\ is dus >\. 



De vergelijking {B) bezit voor een waarde van t een dubbelwortel 

 in x als deze waarde van t de discriminant van (_B, nul maakt. De 

 discriminant is in de coëfficiënten van (B) van den graad 2 (n — 1) 

 en daar de coëfficiënten van (B) van den graad r l n in t zijn, zoo 

 is de discriminant van den graad 2 i\ n (n — 1) in t. 



l ) Versluys, loc. cit. 



