( 172 ) 



of 



= z - — f + enz (A) 



4 p 



Als nu voor liet punt P waarin het oppervlak raakt aan O 4 

 gekozen wordt de oorsprong der coördinaten, dan is de vergelijking 

 van O van den vorm 



= z + ax* + 2 h xy + % 2 + enz (B) 



De oppervlakken (9 4 en (? hebben in den oorsprong stationnair 

 contact als 



i b+ h) 



h' = 0. l ) (C) 



De vergelijking van een osculatievlak van C" is nu 



f — 3 (« + p) * 2 + 3 y t — z = 0. 

 De vergelijkingen van een raaklijn aan C 3 zijn dus 



f - 2 ^ + p) t + 7/ = 0, (a + p) f — 2y t + z = 0, 

 of 



y = 2 Oc + j») * — <*, * = 3 (as 4- p) f — 2f. 

 Door substitutie dezer waarden van y en ^ in de vergelijking van 

 O, verkrijgt men een vergelijking van den n den graad in x 



= a -\- a l x -f- a 3 x 1 -\- a 3 x z -\- enz. 

 waarin 



a = 3 pf -f 4 bp 1 f — 2 ** — 4 &p* ! + enz., 

 a 1 = 4Ap«+3« 1 — 2fa 2 + 8opi 2 — 4fa' + enz. . (D) 

 a 3 = a + 4 fa -f 4 fo 2 + enz. 

 De discriminant van deze vergelijking is van den vorm 



«o V + < ty\ *)■ 



Daar «„ en a^ respectievelijk f en tf als factor Hbevatten terwijl <p 

 en ip in 't algemeen niet deelbaar zijn door t, zoo is de discriminant 

 deelbaar door f of de discriminant heeft 2 wortels t — 0. Daar 

 met iederen wortel van de discriminant (behoudens de bijzondere 

 n (« — 1) voudige) overeenkomt een gemeenschappelijke raaklijn van 

 C 3 en O zoo telt hier de A'-as voor 2 gemeenschappelijke raaklijnen 

 van C 3 en O, of de beide opeenvolgende raaklijnen van C 3 gelegen 

 in het gemeenschappelijk raakvlak van O 4 en O raken ook beide 

 aan O. 



De discriminant is een determinant, welke ontwikkeld volgens de 

 elementen der eerste 2 kolommen, geeft 



\2na as—{n—l)a l *\(p l -\-n 1 a l ?(p i 4-na a a l <p z A-ai i <p i . (E) 



i) Salmon, 3 Dim. § 204. 



-) Salmon, Modern Higher Algebra. § 111. 



