( i73 ) 



§ 6. Als de Y-as niet samenvalt met een der hoofdtangenten van 

 in den oorsprong P dan kan de 3 r -as zoo gekozen worden dat 

 h = 0, daartoe behoeft men tot F-as slechts te nemen de middellijn 

 der indieatrix welke toegevoegd is aan de A r -as. De uitdrukkingen 

 voor de coördinaten van een punt op C* zullen niet veranderen als 

 nu ook tot vlak x = gekozen wordt, het vlak bepaald door de 

 nieuwe F-as en een der 2 raaklijnen van C', die de F-as buiten P 

 ontmoet, en tot vlak op oo, het osculatievlak van C' in het punt 

 waar C 3 raakt aan 't 'nieuwe vlak x = 0, terwijl tot vlak y = 

 genomen wordt het vlak bepaald door de X-as en het punt waar 

 C 3 raakt aan x = 0. 



Als h = zijn de termen van den laagsten graad in t in de 

 coëfficiënten a„, a x en « 2 , respectievelijk van den graad 2, 2 en 0. 

 De termen van den laagsten graad in t van de discriminant komen 

 dus voor in den eersten term der ontwikkeling (E) aan 't slot der 

 vorige §, te weten in den term 2na„a 1 (p 1 . De termen van den laagsten 

 graad in t zijn dus 



Ca (3p 4- 4fy 2 ) f 

 waarin C een constante voorstelt. De discriminant bezit dus 3 wortels 

 t = of de A'-as telt voor 3 gemeenschappelijke raaklijnen van 

 C" en O indien 



a (Sp + 46p') = 

 of indien, 



a = 0, 3 + 4% = 0, p = 0. 



Is 3 -j- 4/>/j = clan hebben de oppervlakken O 4 en O volgens 

 (C) een stationnair contact, daar ook /« = 0. De oorsprong P is nu 

 een gewoon (geen parabolisch of dubbelpunt) op 't oppervlak O en 

 de gemeenschappelijke raaklijn (de X-asj valt niet samen met een 

 der hoofdtangenten van O in P. 



Dit geeft de stelling. 



Als een willekeurig oppervlak O en een ontwikhelbaar oppervlak 

 0* in een gewoon punt P der beide oppervlakken een stationnair 

 contact hebben, en de beschrijvende l van O 4 door P is geen der 

 beide hoofdtangenten van O in P dan telt l voor drie gemeenschappelijke 

 raaklijnen van de keerkromme C 3 en van O. 



Is a = dan hebben volgens (C) de oppervlakken O 4 en O nog 

 een stationnair contact daar ook h = 0. De oorsprong P is nu een 

 parabolisch punt van O terwijl de A-as de eenige hoofdtangent is. 

 De coëfficiënten a , a, en a, bevatten nu alle den factor f. De dis- 

 criminant (E) bezit, dus den factor t', zoodat nu de discriminant 4 

 wortels t = heeft. De A-as telt dus nu voor 4 gemeenschappelijke 

 raaklijnen van C z en 0. 



12 



Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XIII. A°. 1904/5. 



