( 174 ) 



Is p = O dan raakt C" in den oorsprong P aan O terwijl liet 

 osculatievlak van C" in P samenvalt met het raakvlak van in P. 

 De termen van den laagsten graad in t in de coëfficiënten a , «, en 

 « 2 zijn nu respectievelijk van den graad 3, 2 en 0. De discriminant 

 (E) is dus deelbaar door f, zoodat G' 3 en O nu in den oorsprong 

 P 3 gemeenschappelijke raaklijnen bezitten. Door substitutie in de 

 vergelijking (B) van 't oppervlak 0, der uitdrukkingen cc = t, y = f, 

 z = f voor de coördinaten van een punt op C\ verkrijgt men een 

 vergelijking' in t, die den factor f bevat. De kromme C 3 heeft in den 

 oorsprong dus slechts 2 punten, maar 3 raaklijnen met O gemeen. 



Is h = a = p = dan raakt C 3 in een parabolisch punt P aan 

 't oppervlak O, de raaklijn in P aan C 3 valt samen met de hoofd- 

 tangent in P van O terwijl het osculatievlak van C 3 in P samen- 

 valt met het raakvlak van U in P. Uit de uitdrukkingen (D) voor 

 a , a x en a„ volgt nu dat de discriminant (JE) deelbaar is door f, 

 zoodat C 3 en nu in het raakpunt P 4 gemeenschappelijke raak- 

 lijnen bezitten. 



Is h = b ■= p = dan raakt 6' 3 nog in een parabolisch punt aan 

 O, bet eenige verschil met het vorige geval bestaat daarin dat C 3 

 niet meer raakt aan de hoofdtangent. Uit de formules (D) en (E) 

 volgt nu dat (? 3 en O slechts 3 gemeenschappelijke raaklijnen bezitten. 



Is /? = & = () en pJ^-0 dan is P een parabolisch punt waarvoor 



de hoofdtangent niet samenvalt met de raaklijn aan G' 3 . Uit (D) en 

 (E) volgt nu gemakkelijk, dat de X-as slechts voor 2 gemeenschap- 

 pelijke raaklijnen telt van C 3 en O. 



§ 7. Valt de X-as samen met een der hoofdtangenten van O in 

 P dan kunnen de assen niet zoo gekozen worden dat h = maar 

 nu is a = 0. De termen van den laagsten graad in t in de coëfficiën- 

 ten a , «i, « 2 (D) zijn nu respectievelijk van den graad 2, 1, 1. De 

 discriminant (E) is dus slechts deelbaar door f, zoodat nu de X-&S 

 voor 2 gemeenschappelijke raaklijnen van C 3 en O telt. De A"-as 

 zelf heeft nu met O in P drie opeenvolgende punten gemeen en telt 

 dus reeds voor 2 gemeenschappelijke raaklijnen. Een op de J¥-as 

 volgende raaklijn van C 3 raakt dus niet meer aan ! 



De term van den graad 2 in t van de discriminant (E) heeft nu 

 tot coëfficiënt '16 Cl? p 1 waarin C een constante is. De discriminant 

 heeft dus 3 wortels t = als h = of als p = 0. Het geval h = 

 is juist hef in $ 6 behandelde. 



Is p = a = dan raakt C 3 in P aan een der hoofdtangenten van 

 in P terwijl het osculatie-vlak van C 3 in P nog samenvalt met 



