( 175 ) 



het raakvlak van O in P. Uit de ontwikkelingen (D) voor a„, a x 

 en a„ blijkt, dat deze coëfficiënten respectievelijk deelbaar zijn dooi' 

 f, f en t. De discriminant (E) is dus deelbaar door f' of heeft 4 

 wortels 2 = 0. De X-as telt dus voor 4 gemeenschappelijke raaklijnen 

 van C 3 en O. Door substitutie van x = t, y — f, z= f in de ver- 

 gelijking (B) van het oppervlak O vindt men dat C 3 en O nu in 

 den oorsprong 3 opeenvolgende punten gemeen hebben. 



§ 8. Zij 6'j nu een willekeurige ruimtekromme en 1 het door 

 haar raaklijnen gevormde ontwikkelbaar regelvlak en laat 1 het 

 willekeurige oppervlak O in P raken. Zij / de beschrijvende van 

 Oj die O in P raakt en zij R het punt waarin zij C x raakt. Zij V 

 het osculatievlak van d in 7?. Door 2? en 5 op R volgende punten 

 van Cj, kan men een ruimtekubiek C 3 brengen, onder de voorwaarde 

 dat R, 1 en F" een gewoon punt een gewone raaklijn en een gewoon 

 osculatievlak van C\ zijn. Het bij 6' 3 behoorende ontwikkelbaar 

 regelvlak O 4 heeft nu met O, de lijn / en 4 daaropvolgende beschrij- 

 venden gemeen. Als dus / moet tellen voor 2, 3 of 4 gemeenschappe- 

 lijke raaklijnen van C 8 en O is dit ook het geval voor C x en O. 

 De in §§ 6 en 7 bewezen stellingen voor C 3 gaan dus door voor 

 elke willekeurige ruimtekromme. Dit geeft de stellingen : 



Als het bij de kromme C^ behoorende ontwikkelbaar regelvlak O ï 

 in een punt P raakt aan een willekeurig oppervlak O, terwijl de 

 beschrijvende l van 1 door P geen hoofdtangent van O is, dan telt 

 de lijn l voor 2 of voor 3 gemeenschappelijke raaklijnen van C\ en 

 O al naar de oppervlakken in P eengeiooon of stationair contact hebben. 



Is P een parabolisch punt op O dan telt l voor 2 of voor 4 

 gemeenschappelijke raaklijnen van C\ en O al naar de hoofdtangent 

 van O in P niet of wel samenvalt met l. 



Is P een hyperbolisch punt op O en valt de raaklijn l van C l in 

 P samen met een der hoofdtangenten in het raakpunt P van O x en 

 O, dan telt l voor 2 of voor 4 gemeenschappelijke raaklijnen van C\ 

 en O al naar R niet of ivel samenvalt met P. 



Raakt C l in P aan O terwijl het osculatievlak van C 1 in P samen- 

 valt met het raakvlak voor O in P dan telt de raaklijn l in P aan 

 d voor 3 of voor 4 gemeenschappelijke raaklijnen van C, en O al 

 naar l is niet of zoel een hoofdtangent van O in P. 



De nu voor ruimtekrommen bewezen stellingen zijn met een kleine 

 wijziging (zie § 1) nog juist voor vlakke krommen. Zij kunnen 

 gemakkelijk bewezen worden door voor C\ eerst een parabool p"~ te 

 nemen waarna zij direct uitgebreid kunnen worden tot een willekeu- 

 rige kegelsnede en daarna tot een willekeurige vlakke kromme. 



Delft, Juni 1905. 12* 



