( 265) 



men de juiste plaats en ligging der ruimtefiguren door bemiddeling 

 hunner projecties kan bepalen, (her deze twee vragen zullen inliet 

 volgende eenige opmerkingen gemaakt worden. 



Wij denken door de lijn 0<J 1 een willekeurig vlak e aangebracht, 

 dat dus loodrecht staat op t; in dat vlak kan men dan door O 

 twee rechten p x , p. 2 trekken die evenwijdig zijn aan de door l 

 gaande snijlijn e van e en r, en dus ook evenwijdig aan x zelf. De 

 hoeken die p l en p? met OO l insluiten zijn aan elkaar gelijk ; zij 

 zijn beide scherp, en hunne grootte is eene functie van de distantie 

 00 1 = d. Lobatschefsky heeft elk dezer beide hoeken den bij de 

 distantie d behoorenden parallel/wek genoemd ') en door I7( d) aan- 

 geduid; is (/ gegeven, dan vindt men den parallelhoek uit de betrekking 



tg 7 2 n ( d) — e-< 1 , 



waarin voor het getal e de basis van het natuurlijke logarithmen- 

 stelsel gezet mag worden, indien slechts de lengteëenheid waarmede 

 00 ', gemeten wordt dienovereenkomstig aangenomen wordt 2 ). Wat 

 het waardenbeloop van TT^i) aangaat zij hier slechts opgemerkt dat 

 de parallelhoek = 1 / a sr is voor d=o, om af te nemen en tot o te 

 naderen indien d toeneemt en tot oo nadert. 



Indien het vlak s om OO l wentelt zullen p 1 en p^ een omwen- 

 telingskegel beschrijven om 00± als as; deze kegel is de m.pl. van 

 alle rechten door die evenwijdig zijn aan r ; hij onderscheidt zich 

 naar vorm en eigenschappen in menig opzicht van den omwente- 

 lingskegel der Euclidische Meetkunde, want het vlak t is een 

 asymptotisch vlak, waartoe zijn mantel onbegrensd nadert, en uit 

 zijne symmetrie ten opzichte van O volgt gemakkelijk dat er nog 

 een tweede zoodanig vlak, t*, bestaat, dat eveneens loodrecht staat 

 op OO lt doch in het spiegelbeeld O* van 1 ten opzichte van O. 

 Hij is dus geheel begrepen tusschen de beide vlakken r en t*, en 

 deze twee vlakken hebben geen enkel punt met elkaar gemeen (ook 

 niet op oneindigen afstand), en zijn dus divergent ; zij bezitten echter 

 de gemeenschappelijke loodlijn 1 1 *, en hun kortste afstand is 2c?. 

 Wij zullen den hier besproken kegel gemakshalve den bij het punt 



behoorenden parallelkegel x noemen. 



2. De parallelkegel verdeelt de ruimte in drie van elkaar gescheiden 

 gedeelten ; noemen wij die beide deelen binnen welke zich de as 



00 1 uitstrekt het inwendige van den kegel, het overblijvende deel 

 het uitwendige, dan is gemakkelijk in te zien dat de punten der 



J ) F. Enuel: „N. 1. Lobatschefsky. Zwei geometrische Abhandlungen". Leipzig, 

 Teubner, 1899, p. 167. 

 i) F. Engel, 1. c. p. 214. 



18 

 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XIV. A u . 1905/6. 



