(315 ) 



Wiskunde. — De Heer W. Kapteyn biedt eene mededeeling aan: 

 „Over eene bepaalde integraal van Kummer". 



In Crelle's Journal Bd. 17 heeft Kummer de waarde van de 



integraal 



i 2 



U p = f e x XP dx 



f(p,,v) = i + — -i : 1 ■ 1- 



-ƒ• 



o 

 bepaald in de onderstelling dat 6 5 eene positieve grootheid voorstelt 

 en p een niet geheel getal. Hij vindt : 



u p = r(p+i) /(-i», b>) + r(-p-i) b*p+*f( P +2, è 2 ), 



waarin 



x 



Tp ' 2/ftp+l) ' 3/p(p+l)(p+2) 



oo x s 



+ . . . = 2 ■ . 



l ;=OS!p{p+l)..(p-\-S -l) 



In de volgende bladzijden stellen we ons voor deze integraal te 

 bestudeeren voor het geval dat p een geheel positief getal voorstelt, 

 en tevens aan te toonen dat er een eenvoudig' verband bestaat tus- 

 sehen deze integraal en de integraal 



oo b- 



V p — I e x xP dx, 



b 

 waarin b ondersteld is positief te zijn. 



Het ligt voor de hand om in de integraal van Kummer te stellen 



p = n — e, 

 aannemende dat n een geheel getal zij en s eene willekeurig kleine 

 grootheid, en dan de limiet te bepalen voor 8 = 0. 



Onderzoeken we dus de limiet van 

 £7„_ s = J>+l-f) ƒ(-« + £, 6') + r(-n-l+e)b*-»+^f(n+2-s,b 3 ) 

 voor e = 0. 



Zij 



r(n+l-s) = A + A 1 s + A i e>... 



f(- n +e,b>) = ^ + B 1 +B, e + ... 



dan is 



r(-*_l+ £ ) = 9l + c + C, 6 + . . . 



e 

 & 2 B +2- 2e — Dg + Di 6 + 2 ? i e » + . . . 



f(»+2- 8l ft') = E a + 2?, 5 + E % e 2 + . . . 



21* 



