c> a -f a 1 ... -f a n —\ ,... 1 ) 

 a^>c -f «i ••• + a n— i !••■ O ' 



( 328 ) 



onderzoek toont aan, dat deze analytische uitdrukking, hoe regel- 

 matig ook gevormd, in verschillende vakken verschillende analytische 

 functies weergeeft. 



Om deze bewering te staven, heeft men alleen in het oog te 

 houden, dat de integraal beteekent de waarschijnlijkheid, naar welke 

 in het vraagstuk van Pearson wordt gevraagd. Om die reden weet 

 men van te voren, dat de integraal is positief en toenemende met c, 

 maar dat zij nooit grooter wordt dan de eenheid, welke bovenste grens 

 werkelijk bereikt wordt, zoodra c grooter wordt dan a -f- a x -}-... + a n —\ ■ 

 En voorts, indien men onderstelt a~^> a x -f- a 2 -f- . . . + #«— ï, kanvoor 

 kleine waarden van c de ongelijkheid a^> c -\- a l -\- a„ ...-{- d„._x 

 mogelijk zijn. En als deze ongelijkheid geldt, zal de zwerver van 

 het vraagstuk van Pearson noodzakelijk geraken buiten den cirkel 

 met straal c, en de waarschijnlijkheid is nul. 



Aldus heeft men door de oplossing van het vraagstuk gevonden 



00 



= c I J 1 (uc) J„ (ua) .ƒ„ (uaj . . . J B (ua a —\) du , 

 o 



geheel onafhankelijk van het aantal der J -functies, en daarmede is 

 aangetoond, dat de doorloopende analytische uitdrukking niet als één 

 analytische functie mag worden opgevat. 



Hetzelfde geldt nog voor waarden van c, die niet aan eene der 

 bovenstaande ongelijkheden voldoen, ook al is dan de integraal 

 doorloopend met c veranderende. 



Zoo men bijv. in het geval n = 3, de drie segmenten a~^> a 1 ~^> a, 

 dusdanig aanneemt, dat een driehoek met deze lijnen tot zijden 

 mogelijk is, bestaat er aanleiding om uit de ondoorloopendheden der 

 eerste afgeleide te besluiten, dat in ieder der volgende vakken 



I «i -f « 2 — a^>c^>0 IV a -\- a 1 -)- a 2 ^>c^>a-\~ a t — a s 



II a — «j + «j^> c ^>°i +« 2 — a V c~^>a-\-a x -j-a 3 



III a -f- a ï — os a >- c ^> a — «, -\- a 3 



eene afzonderlijke analytische functie door de integraal wordt aan- 

 gegeven. 



Eenige andere opmerkingen kan men maken. 



Door te integreeren bij gedeelten vindt men 



00 



W n (c; aa x . . a n _i) = 1 — a j J l (ua) J (uc) J (ua t ) T (na n -{) du 



o 



co 



— «j I J x (ua x ) J„ (ua)J (uc) ...J (ua„—\) du 



