( 333 ) 



+p 



Wn {R) = ~hj uf{u) du fófa J ° (m ^ 2 + 'V- 



O -p -q 



Nu is 



J (u j/| 2 -)- ->f) — | cos (u § cos a) cos (u i] sin et) da, 



o 

 derhalve heeft men na uitvoering van de beide integraties naar | en 

 naar rj 



2 



„ „ 4 f f sin (up cos a) sin (uq sinet) 



W n (R) = —\ « ƒ («) cfe , ■ — da. 



st\J J u sin a cos a 



o o 



Eene iets eenvoudiger uitdrukking wordt gevonden, als men andere 

 veranderlijken aanneemt en van u en « overgaat op 



v = u cos a 

 w = u sin «. 

 Alsdan zal de waarschijnlijkheid W„ (R) als volgt kunnen wor- 

 den uitgedrukt 



oo a> 



, ™ 4 f f sin vp sin wq 



W n (R) = —\ idvdw t -. ï . ƒ (l/V + w«). 



^J J v w 



o o 

 Alweder is het niet doenlijk in het algemeen de waarde van deze 

 dubbele integraal aan te geven, maar het vraagstuk zelf geeft die 

 waarde aan, als beide coördinaten p en q grooter zijn dan de geheele 

 lengte van den weg. Dan toch wordt de waarschijnlijk zekerheid, 

 en er volgt 



00 oo 



sin vp sin wq 



dv dio - — - ./{t/v" + w 2 ) 



o o 

 met de voorwaarde 



p en <7>a-{- «! + ••• + a n -\. 

 In het algemeene geval van den rechthoek is de kans W n (R) onaf- 

 hankelijk van q, zoodra de lengte van q die van den weg overtreft. 

 Dit onderstellende, kan men opmerken, dat de waarde van de, 

 eenigszins vervormde, integraal 



*«^j>*^-v-'(i/'+£) 



o o 



ongewijzigd blijft als q onbepaald aangroeit en men besluit, dat 



