( 483 ) 



Vertoont de kromme hoogere bijzonderheden dan zullen de raak- 

 lijnen in deze bijzondere punten niet behoeven te tellen voor even- 

 veel dubbelraaklijnen aan de kromme als zij moeten tellen voor 

 dubbelbeschrij venden van het. bij de kromme behoorend ontwikkel- 

 baar regelvlak. Het getal 10 zal dan verschillend zijn voor de formules 

 van Cayley-Plücker, die betrekking hebben ©p een doorsnede en 

 voor die formules, welke betrekking hebben op een projectie, m. a. w. 

 de singulariteit w eener ruimtekromme voorkomend in een term 

 (x -+- co) is niet altijd de zelfde als degene die voorkomt in den term 



(y + *»)■ 



De formule 



y—x— v—(i l ) 



is dus niet meer juist zoodra de kromme hoogere singulariteiten 

 vertoont waarvoor de graad en de klasse ongelijk zijn. 



Bovenstaande en ook de volgende resultaten gelden niet voor een 

 gewoon keerpunt /?(2, 1, 1) en voor een gewoon stationnair vlak 

 «(1,1,2) daar voor deze cyclische punten de voorwaarden (A) niet 

 vervuld zijn. 



Door het bijzondere punt M {n, r, in) gaan 



n (n-\-2r-\-m — 4) 

 2 



takken der knoopkromme van het bij de kromme C behoorende 

 ontwikkelbaar regelvlak O. 



Deze takken raken alle in M aan de kromme C en hebben in M 

 met de gemeenschappelijke raaklijn 



(« + /•) (w+2r-fm— 4) 

 2 



samenvallende punten gemeen. 



Deze takken hebben in M het zelfde osculatievlak als C en met 

 dit osculatievlak hebben zij in il/ gemeen 



{nA-r-\-m) (n+2r+m— 4) 

 2 



samenvallende punten. 



Uit de voorwaarden (A) volgt dat (n-\-2r-\-m) even is, zoodat de 

 drie bovenstaande getallen geheel zijn. 



Het tweede pooloppervlak van O, voor een willekeurig punt, 

 ontmoet in het punt M [n, r, m) de keerkromme 



i) Salmon. 3 Dim. §327. 



32 



Verslagen der Af'deeling Natuurt Dl. XIV. A". 1905/0, 



