( 486 ) 



ligt. Dus kan die ruimte buiten s t s nog slechts een zeker aantal 

 beschrijvende lijnen / van het regelvlak bevatten. Wijl de snijlijn 

 van « 2 met de aangenomen ruimte door «^ drie punten met s a 3 gemeen 

 heeft, is het gezochte aantal beschrijvende lijnen drie en moet het 

 regelvlak, wijl het niet de aangenomen ruimte een lijnenstel van den 

 zesden graad gemeen heeft, een gewrongen oppervlak 0° van den 

 zesden graad zijn. Dus wordt het door een willekeurige ruimte vol- 

 gens een ruimtekromme van den zesden graad gesneden ; deze in het 

 algemeen niet ontaardende doorsnee is rationaal, wijl haar punten 

 één aan één overeenkomen met de lijnen / en dus niet de stralen 

 van elk der bundels (/,), (/ a ), (ƒ„). Dus is het oppervlak van het 

 geslacht nul. 



We noemen de bepaalde meetkundige plaats, - - die echter nog 

 niet de in den titel bedoelde is — , een oppervlak, om hiermee aan 

 te duiden, dat het aantal punten tweevoudig oneindig is ; door het 

 predikaat „gewrongen" drukken we uit, dat het niet in een drie- 

 dimensionale ruimte ligt. 



4. Door de drie projectieve puntreeksen {A x ), (A 2 ), {A s ) te beschou- 

 wen, die de drie projectieve stralen bundels (l x ), (4), (4) op a x , <t„ a s 

 insnijden, bewijst men gemakkelijk, dat het vlak « drie beschrijvende 

 lijnen van O" bevat. Want het gebeurt - - zooals bekend is — drie- 

 maal, dat drie overeenkomstige punten A x , A„ A, der projectieve 

 puntreeksen (A x ), (A 2 ), (A,) in een zelfde rechte liggen, die dan een 

 beschrijvende lijn l van (f wordt; immers de kegelsneden omhuld 

 door de verbindingslijnen A x A, en A x A, van elk punt A l met de 

 overeenkomstige punten A. 2 en A 3 hebben buiten a x om nog drie 

 gemeenschappelijke raaklijnen. 



Op den regel, dat de raaklijnen in een punt van O" aan O" getrok- 

 ken in een vlak liggen, maken de snijpunten van twee niet op elkaar 

 volgende beschrijvende lijnen / een uilzondering. In zulk een punt, 

 waardoor het oppervlak tweemaal gaat, zal bij elk der beide lijnen 

 / een raakvlak belmoren ; dus kan het een „biplanair dubbelpunt" 

 genoemd worden. Uit hel bovenstaande nu blijkt, dat O 1 zes bipla- 

 naire dubbelpunten bezit, de drie punten O x , <>.,, 3 en de drie snij- 

 punten van de in a gelegen beschrijvende lijnen; bovendien zal 

 aanstonds blijken, dat het aantal dier dubbelpunten in het algemeen 

 zes is en het, zoo het zes overtreft, oneindig wordt, zooals dit plaats 

 vindt bij het straks te bespreken oppervlak, dat in den titel wordt 

 bedoeld. 



5. We wijzen er op, dat het gevonden oppervlak Q° bepaald 



