( 488 ) 



geen lijnen a x en it., te trekken, <lie i\' en s 3 ' in overeenkomstige 

 drietallen snijden. 



6. We beschouwen nu hel meer algemeene geval van twee zoo 

 in ft, en « a gelegen projectief verwante krommen */ en ,s-„\ dal er 

 door liet snijpunl I\., geen drietallen van overeenkomstige punten 

 dragende lijnen a x en a 2 te trekken zijn. De redeneering, die voerde 

 tot den graad van het regelvlak, dat de meetkundige plaats is van 

 de verbindingslijn der overeenkomstige punten dier krommen. blijft 

 hier van kracht. We hebben dus slechts het aantal dubbelpunten 

 te bepalen. Natuurlijk zijn O x en ü a dubbelpunten. Zijn verder 

 AjA 2 en B x B t twee elkaar buiten «j en « a snijdende beschrijvende 

 lijnen, dan gaan A l B l en A S B 3 , wijl ze elkaar snijden moeten, door 

 P la . Dus beschouwen we de centrale Iripelinvolutie (.1, />', ( \) door 

 den stralenbundel met P ia tot top in .v, 3 ingesneden en de niet cen- 

 trale tripelinvolutie (/l a P a C a ) der overeenkomstige drietallen van 

 „s a 3 ; de laatste levert dan als omhullende der zijden van de drie- 

 hoeken A a P s 6 3 een bepaalde involutiekromme, die ons door het 

 aantal harer door P Ia gaande raaklijnen het aantal der niet in «, en 

 a., liggende dubbelpunten van het nieuwe oppervlak O 6 doet kennen. 

 Nu is de klasse der bedoelde involutiekromme vier; want door het 

 dubbelpunt 0, van s s " gaan klaarblijkelijk vier raaklijnen. Komen 

 met de twee in ()., samenvallende punten van s a a op .-y' de punten 

 M lt i\\ overeen en snijden P 13 M x en I\,X l de kromme s x * nog in 

 de paren .1//, .1/," en X x ', N~ 1 ", dan zijn de verbindingslijnen van 

 J',, met de overeenkomstige punten M', M" X' X." de eeniere 

 raaklijnen der involutiekromme, die door P la "aan. Dus heeft 0° ook 

 hier zes dubbelpunten. 



7. Het is nu gemakkelijk in te zien, dat het eerste oppervlak 

 ( ) f ' der drie projectieve stralenbundels teruggevonden wordt, als de 

 verwantschap der krommen .v, 3 en s a 3 zoodanig gegeven is, dat door 

 het snijpunt P la van « l en «., lijnen a, en a a gaan, die twee drie- 

 tallen van overeenkomstige punten dragen. Het vlak a x a. 2 is dan 

 weer een vlak a door drie beschrijvende lijnen van O' en de lijn 

 ii., vertegenwoordigt drie der vier door J\„ aan de boven gevonden 

 involutiekromme te trekken raaklijnen, terwijl de vierde raaklijn een 

 niet in a is «„ of n gelegen dubbelpunt vinden doel. Snijdt men nu 

 het oppervlak door de ruimte bepaald door « en dit dubbelpunt, 

 dan zal de doorsnee bestaan uit de drie beschrijvende lijnen in « en 

 een kromme van den derden graad met een dubbelpunt, d. w. z. 

 een rationale vlakke kubische kromme. Het vlak dier kromme is 



