( 489 ) 



dan het vlak « 3 , het dubbelpunt dier kromme het punt O s der 

 eerste voortbrenging. 



8. We vragen, wal er ontstaat, als de vlakken rq en «, zoo in 

 R 4 geplaatst worden, dat de punten Q t en Q„ samenvallen en derhalve 

 elke lijn door het punt van samen val lint;' /•*,., in « l getrokken als 

 lijn u , Ie beschouwen is. We vinden dan, dat aan elke lijn a, door 

 1\., in a, een bepaalde lijn <t, door l\. s in «., beantwoordt en er 

 dus een oneindig aantal vlakken « is. De meetkundige plaats dezer 

 vlakken a is een kwadratische kegelruimte niet 1\„ tot top; want 

 de stralenbundels der met elkaar overeenstemmende lijnen <i x , a 3 door 

 /',., in <t, , « 2 zijn blijkbaar projectief verwant. Deze kwadratische 

 kegelruimte moet, wijl ze alle beschrijvende lijnen van 0" bevat, 

 dit gewrongen regelvlak zelf bevatten. 



Nu de beschrijvende lijnen van dit bijzondere oppervlak (>", dat 

 het boven in den titel bedoelde oppervlak is, zich groepeeren tot 

 in een vlak gelegen drietallen, moet er een meetkundige plaats van 

 dubbelpnnten zijn. Deze is van den vierden graad. Projecteeren we 

 n.1. het oppervlak < ')" door middel van de juist gevonden kwadratische 

 kegelruimte uit Z J la op een willekeurige l\„ niet bevattende ruimte, 

 dan is de projectie een kwadratisch regelvlak, dat de projecties der 

 vlakken a tot een stel van beschrijvende lijnen heeft. Van dit opper- 

 vlak < >'- vormen de projecties van «, en « s dus twee lijnen van het 

 andere stel ; want elk dier beide vlakken heeft met elk der vlakken 

 « een lijn gemeen en hieruit volgt, dat de doorsneden van «, en <r 2 

 met de projectieruimte een punt gemeen moeten hebben met de 

 doorsneden van de vlakken a met die projectieruimte. In die pro- 

 jectieruimte bevat elk vlak door een der beide lijnen dus een lijn 

 van het met de vlakken <t overeenkomende stel en derhalve de 

 projecties van vier dubbelpunten en wel een op de eerste en drie 

 op de tweede lijn. Dus is de projectie der dubbelkromme uit P 12 op 

 de aangenomen projectieruimte een op 0* liggende kromme van den 

 vierden graad, die met elk dei' beschrijvende lijnen van het eene 

 stel één, met elk der beschrijvende lijnen van het andere stel drie 

 punten gemeen heeft. Dus is de dubbelkromme zelf een gewrongen 

 kromme van den vierden uraad ; even als haar projectie is zij 

 rationaal. 



Uit de beschouwing van liet oppervlak 0" blijkt nu tevens, dat 

 het oppervlak < > B een oneindig aantal vlakken toelaat, die het volgens 

 een rationale kubische kromme snijden, n.1. elk vlak door l\„ en 

 een der lijnen van het stel, waartoe de projecties van «, en <t. 2 behooren. 



W e vinden dus nu de volgende stelling : 



