( 40<> ) 



„Als we in twee vlakken «, en a a twee projectief verwante rationale 

 „kubische krommen aannemen, in deze vlakken.de toppen Q x , Q s der 

 „overeenkomstige centrale tripelinvoluties op die krommen bepalen 

 „en nu de vlakken zoo in A', plaatsen, dat Q, en Q t in het snij- 

 „punt 7 J 12 der vlakken samenvallen, dan is de meetkundige plaats 

 „van de verbindingslijn der paren overeen komstge punten der kubische 

 „krommen een gewrongen oppervlak met de volgende eigenschappen : 



a. „het wordt uit P 1S geprojecteerd door een kwadratische kegel- 

 „ruimte, waarop twee stel vlakken liggen ; 



b. „het wordt door elk vlak van het eene stel volgens een 

 , .kubische kromme met een dubbelpunt, door elk vlak van het andere 

 „stel volgens drie beschrijvende lijnen gesneden ; 



c. „de kubische krommen in twee vlakken van het eerste stel 

 „kruisen elkaar en evenzoo de drietallen van lijnen in twee vlakken 

 „van het tweede stel ; daarentegen wordt elke kubische kromme 

 „door elke beschrijvende lijn gesneden; 



d. „de beschrijvende lijnen brengen alle kubische krommen en 

 „de kubische krommen brengen alle beschrijvende lijnen in onder- 

 linge projectieve verwantschap." 



9. Uit het voorgaande volgt nu onmiddellijk, dat het gewrongen 

 regelvlak met een dubbelkromme k* op een plat vlak kan worden 

 afgebeeld. Nemen we n.1. in een vlak o twee stralenbundels met 

 verschillende toppen 7\, T, willekeurig aan en laten we drie wil- 

 lekeurig gekozen stralen a x , b 1 , c\ van den eersten met drie rationale 

 kubische krommen 5? , sf. , s 3 , van <>*, drie willekeurig gekozen 



a) (6) <c, ° ° 



stralen a % , b it c 2 van (\en tweeden met drie beschrijvende lijnen 

 ?(a), l b), l(c) van O' overeenkomen, dan beantwoordt aan iedere 

 rationale kubische kromme s H . een beiiaalde straal ». van den eersten, 



aan iedere beschrijvende lijn \ q ) een bepaalde straal q 2 van den tweeden 

 bundel en kan men dus het snijpunt van .s--' i en / (l/ ) aan het snij- 

 punt van p l en y 3 toewijzen. De uitzonderingselementen dier afbeel- 

 ding zijn onmiddellijk gevonden. Komt met de verbindingslijn van 

 de toppen der stralenbundels tot den eersten bundel gerekend de 

 kromme .*', tot den tweeden bundel gerekend de beschrijvende lijn 

 / overeen en is S het snijpunt van s' en /, dan beantwoordt aan 

 het punt 7\ de lijn /, aan het punt T„ de kromme s ! en omgekeerd 

 aan het punt S de lijn r I\ 1\. Met elk punt P der dubbelkromme 

 h A komen twee met 1\ op een rechte lijn gelegen punten P', P" van 

 o overeen, wijl bij het overeenkomen van s 3 _ met Itj,) het dubbelpunt 



