( 24 ) 



Wiskunde. — De Heer Korteweg biedt eene mededeel ing aan van 

 den Heer L. E. J. Brouwer: "Over één-éénduidige, continue, 

 transformaties van oppervlakken in zichzelf" (vierde mede- 

 deeling l ) ). 



(Mede aangeboden door den Heer P. H. Schoute). 



We houden ons in deze mededeeling, evenals in de voorafgaande, 

 bezig met één-éénduidige, continue transformaties met invariante 

 indicatrix van een tweezijdig oppervlak in zichzelf. 



Treedt bij zulk een transformatie een invariante enkelvoudige 

 kurvenboog op, dan bevat die minstens één invariant punt ; meer 

 dan één invariant, punt behoeft hij niet te bevatten. 



Zijn echter zijn beide zijden elk voor zich invariant, dan bevat hij 

 minstens twee invariante punten ; meer dan twee invariante punten 

 behoeven niet op te treden. 



Van de eerste dezer twee onmiddellijk in te ziene stellingen hebben 

 we in § 2 der derde mededeeling aangetoond, dat ze zich laat uit- 

 breiden tot het meest algemeene circulaire continuüm (waarvan de 

 enkelvoudige kurvenboog als het meest eenvoudige type kan worden 

 beschouwd) ; in het volgende zullen we aan de tweede stelling de- 

 zelfde uitbreiding geven. 



Onder een volledigen deelomtrek van een circulair continuüm ver- 

 staan we een zoodanig segment van den door zijn bereikbare punten 

 bepaalden omtrek, waarvan de afleiding met het gegeven circulaire 

 continuüm zelf identiek is. 



Als veralgemeening van den enkelvoudigen kurvenboog met twee 

 invariante zijden kunnen we beschouwen een circulair continuüm <j ', 

 waarvan de omtrek zich door twee Schnitte laat verdeelen in twee 

 volledige deelomtrekken, die elk voor de transformatie invariant zijn. 



We beelden cp' tezamen met een zekere omgeving i|<' één-éénduidig 

 en continu af op een deelgebied van een Cartesiaansch vlak, waarbij 

 ze achtereenvolgens in <p en ifi overgaan, en construeeren in dat 

 Cartesiaansche vlak een enkelvoudige gesloten kromme x, wier 

 binnengebied <p bevat, en, evenals zijn beeld en tegenbeeld, tot rp 

 behoort. 



Alle in het volgende te construeeren figuren, en evenzoo hun beelden 

 en tegenbeelden onderstellen we in ip te liggen. 



Volgens de derde mededeeling ligt in tp een voor de transformatie 

 invariant punt /; we willen aannemen, dat dit punt I het eenige 

 invariante punt van <p is. 



l ) Zie deze Verslagen, Di. XVII, p. 741, Dl. XVIII, p. 106, Dl. XIX, p. 737. 



