(39) 



Wiskunde. — De heer Schoüte biedt eene mededeeling aan ge- 

 titeld : „De vijf/welige projecties van de regelmatige vijfcel en 

 van de hal/regelmatige polytopen uit haar afgeleid." 



1. Grondstelling. Zijn in twee cirkels (fig. 1) met een straal q 

 gelegen in de vlakken 0(A' t X,) > 0(X t X t ) van een rechthoekig 

 coördinatenstelsel der ruimte R 4 twee regelmatige vijf hoeken 

 (1, 2, 3, 4, 5) , (1', 2', 3', 4', 5') beschreven en wel in den eenen een 

 convexe vijfhoek en in den anderen een stervijfhoek, dan zijn de 

 vijf punten P lt P 3 , P 8 , P 4 , P 5 , wier projecties op ^(A^A,) , 0(X s X t ) 

 door dezelfde cijfers aangeduid worden, de hoekpunten van een 

 regelmatige vijfcel met q\/ó tot lengte der ribben *). 



] ) Deze stelling, die ons punt van uitgang vormt, is niet nieuw. Waarschijnlijk 

 komt ze het eerst voor in de dissertatie van Dr. S. L. van Oss (Utrecht, 1894 \ 

 Vergelijk ook mijn opstel: „Les projections régulières des polytopes réguliers" 

 (Archiies Teykr, Haarlem, 1904). 



We herhalen hier het eenvoudige bewijs. Als (P 12 , P 3t ) en (Q 12 , Q si ) de projecties 

 zijn van de punten P en Q met de coördinaten xi en yi (i = l,2, 3, 4) op de 

 vlakken 0(X l X. i ) , 0(A' 3 A"±), hebben we 



en dus, als d de afstand PQ is, 



PnQ'u + PuQh^d'. 



Nu zijn de projecties P^Qn en P si Q 3i van elk der tien ribben 12, ...,45 van 

 het vijt'punt PyPïPjPiP-, steeds zijde en diagonaal (of diagonaal en zijde) van 

 denzelfden regelmatigen vijfhoek, enz. 



We vragen, welken stand de vijfcel heeft met betrekking tot de projectievlakken 

 0(X l X 2 ) , 0(X 3 X é ). Blijkbaar is deze stand gekenmerkt door het feit, dat elk dei- 

 vijf paren kruisende ribben 



(25) (34) , (13) (45) , (24) (15) , (35) (12) , (14) (23) 

 op elk der twee vlakken evenwijdige projecties heeft, d.w.z. dat de vijf in het 

 oneindige gelegen lijnen, waarvan elk een paar dier kruisende ribben snijdt, de 

 oneindig verre lijnen der twee projectievlakken tot gemeenschappelijke transversalen 

 hebben. 



Nu zijn er in het geheel vijftien paren van kruisende ribben en dus ook vijftien 

 oneindig verre lijnen, waarvan elk een paar kruisende ribben snijdt. Bovendien 

 bewijst men gemakkelijk, dat deze vijftien oneindig verre lijnen op een kubisch 

 oppervlak liggen. Want, in barycentrische coördinaten met belrekking tot de regel- 

 matige vijfcel als coordiuatensimplex, zijn deze vijftien oneindig verre lijnen, voor 



5 5 



welke de betrekking £ xi — 1 in Z xi — overgaat, door de vergelijkingen 



i'=L 1=1 



Xi + Xk = 0, XI + Xm = 0, Xn = 



voorgesteld, als i,k,l,m,n een der permutaties van 1,2,3,4,5 aanduidt, en deze 



5 



vergelijkingen bevredigen de vergelijking S xfi = van hel diagonalenoppervlak 



i=l 



