( 40 ) 



Wij duiden de in fig. 1 gegeven projectie van de regelmatige vijfcel 

 in het kort als vijfhoekige projectie aan en trachten nu in de volgende 

 bladzijden te doen zien, hoe door het gebruik van deze projectie de 

 constructie van de halt'regelmatige poljtopen, door Mrs. A. Boole 

 Stott l ) met behulp van de bewerkingen van uitzetting en inkrimping 

 uit de regelmatige vijfcel afgeleid, uiterst eenvoudig gemaakt wordt. 

 Daartoe stellen we echter eerst enkele algemeene wetten voorop. 



2. We beschouwen de projectie van de vijfcel aS(5) wat nader en 

 merken daarbij het volgende op : 



a. In vijfhoekige projectie komen de tien ribben van S[5) slechts 



van Glebsch. Dus bestaat het ScHLAru'sche dubbelzes, dat de boven vermelde vijftien 



5 



lijnen tot de 27 rechten van £ %? = aanvult, uit de oneindig verre lijnen van 



2=1 



zes vlakkenparen 0.Jt\X%) , 0(X 3 A"j,), overeenkomende met de zes paren van 

 circulaire permutaties. 

 (12345) 1 (12354) I (12435) I (12453) 1 (12534) (12543) 1 



(13524) | ' (13425) ) (14523) j ' (14325) j ' (15423) ' (15324) \ 



gekenmerkt door de eigenschap, dat in de beide constituenten van elk paar elk 

 cijfer verschillende buren heeft. Elk dier zes paren van lijnen moet bestaan uit 

 twee weerkeerige poollijnen met betrekking tot den oneindig verren bol gemeen 

 i ;ni alle bolruimten, wijl de vlakken van elk paar volkomen loodrecht op elkaar 

 staan. Volgens een bekende eigenschap, voor het eerst gevonden door F. Sciiur, 

 zijn werkelijk de zes lijnenparen van een dubbelzes van Schlafli steeds weerkeerige 

 poollijnen van een zelfde kwadratisch oppervlak (vergelijk Th. Reye „Beziehungen 

 der allgemeinen Flache dritter Ordnung zu einer covarianten Flitcbe dritter Glasse", 

 Mn/li. Annalen, deel 55, blz. 257 en G. Kohn „Ueber einige Eigenschaften der 

 allgemeinen Flache dritter Ordnung", Wiener SUzungsberichte, deel 117, blz. 66). 

 Leidt men op de bekende wijze de projectie 0(X 2 X s ) uit de projecties 0(X 1 X a ), 

 0(A"-,Xj.) af, nadat men elk der vijfhoeken een willekeurige draaiing heeft laten 

 ondergaan, dan vindt men de projeclie der vijfcel op een willekeurig vlak, waarvan 

 de lijn in 't oneindige de oneindige verre lijnen van OiX-^X^) , 0(X 3 X 4 ) snijdt 

 Hieruit volgt, dat men eerst in twee tempo's tot de projectie op een willekeurig 

 vlak komen kan door eerst tot twee willekeurige projecties 0{X 3 X s ) , 0{X i X l ) over 

 te gaan en nu de bewerking te herhalen door de nieuwe projectie 0(X 1 A' 3 ) te 

 zoeken na draaiing van 0(X s X$) en 0(X i X{) over willekeurige hoeken. Of wel 

 als l, I' de oneindig verre lijnen zijn van de vlakken 0(XiX 3 ) , 0(X 3 Xj) en m, m 

 die van een ander volkomen loodrecht op elkaar staand vlakkenpaar, dan zijn er 

 steeds twee bestaanbare lijnen n, n', die op de vier lijnen /, l', m, m' rusten 

 en de oneindig verre lijnen van de te gebruiken vlakken 0(X 2 X 3 ), 0(X 1 X 1 ) aan- 

 geven; tenzij een vlak door in (of m') met 0(XiX 3 ) gelijke boeken maakt en 

 l, l', m, m' hyperboloïdische ligging hebben, in welk geval er enkelvoudig oneindig 

 veel vlakkenparen 0(X S X S ) , O(XtZi) gebruikt kunnen worden. 



l ) In het volgende onderstellen we de resultaten bekend van de verhandeling 

 „Geometrical dedueüon of semiregular from regular polytopes and space filliugs". 



Verhandelingen, deel IX, N°. 1). 



