(41 ) 



in rijf onderling verschillende richtingen voor, omdat iedere diagonaal 

 van den vijf hoek evenwijdig is aan een der zijden. 



b. Hoewel alle ribben van S{5) even lang zijn, vinden we in 

 projectie twee verschillende lengten, die tot elkaar staan als zijde z 

 en diagonaal cl van den regelmatigen vijf hoek. 



Willen we de lengte der ribben van *S(5) in de beschouwing 

 opnemen, dan kunnen we gebruik maken van den klassieken, bij 

 de constructie van den regelmatigen vijfhoek optredenden rechthoekigen 

 driehoek en zeggen dal, als a 10 en a s de zijden van den in den cirkel 

 met een straal r beschreven tienhoek en vijfhoek aangeven, a 5 de 

 lengte der ribben van S{5) voorstelt, als r' 10 en r de projecties zijn. 



Natuurlijk staat met het verschil in lengte der projectie een verschil 

 in helling in verband ; vijf ribben van S{5) maken met het projectie- 

 vlak een hoek </> bepaald door de voorwaarde tgip = k (|/5 — 1), de 

 vijf anderen het complement met een tangens i (|/5-)-l). 



c. In projectie verdeelen de tien gelijkzijdige driehoeksvlakken van 

 S{5) zich in twee vijftallen van gelijkbeenige driehoeken, een groep 

 (2z, d) met een stompen, een groep {:, ld) met een scherpen tophoek. 



d. In projectie nemen de vijf begrenzende viervlakken denzelfden 

 trapeziumvorm aan (fig. 2). Dat dit voor ons doel van groot gewicht 

 moet zijn, treedt duidelijk aan het licht als wij zeggen, dat draaiing- 

 van de projectie (2345) van het viervlak in den zin van de wijzers 

 van het uurwerk om het middelpunt C in fig. 1" aangegeven tot 

 een bedrag van een-, twee-, drie- of viermaal 72° deze projectie 

 achtereenvolgens tot samenvalling brengt met de projecties (3451), 

 (4512), (5123), (1234) der vier overige begrenzende viervlakken. 



Ten einde aan de projectie van het enkele viervlak van fig. 2 

 eenig relief te geven, hebben we een der diagonalen van het trapezium 

 gestippeld; door dit te doen, hebben we stilzwijgend dit viervlak 

 beschouwd als in zijn eigen driedimensionale ruimte liggend. Immers, 

 bij het projecteeren van vierdimensionale figuren op een vlak vervalt 

 de vraag van het zichtbare en onzichtbare, omdat de vierdimensionale 

 ruimte een er in gelegen vlak omringt even als de driedimensionale 

 ruimte een er in gelegen lijn. 



3. We onderzoeken nu, wat we in het algemeen te verwachten 

 hebben met betrekking tot de vijfhoekige projectie van de halfregel- 

 matige polytopen door uitzetting en inkrimping afgeleid uit *S(5). 

 Gemakshalve voeren we voor de groep dezer polytopen het symbool 

 S(5) in; bovendien maken we verder gebruik van de symbolen 

 T, O, i'l\ ( 'O, tij, P„ P e voor de begrenzende lichamen dier polytopen. 



a. De eigenschap in vijfhoekige projectie slechts in vijf richtingen 



