( löê ) 



welke door/?' 1 en (?* worden bepaald, bezil /"een congruentie van singu- 

 liere bisecanten, waarop (Q') en (//')' dezelfde involutie insnijden. 

 De dubbelpunten van zulk een involutie worden harmonisch geschei- 

 den door twee willekeurig uit {Q 2 ) gekozen oppervlakken en twee 

 eveneens willekeurig uit {Q"*)' genomen oppervlakken. De meetkun- 

 dige plaats van die dubbelpunten is dus het bij die vier opper- 

 vlakken behoorend kernoppervlak. Zijn <r x = 0, Ir , = 0, e"., = 0, 

 il' 1 ,. = de vergelijkingen der bedoelde oppervlakken, dan is voor 

 een paar dubbelpunten X, Y 



a x a ;l = 0, b x by — 0, c x Cy ■=. 0, dxdy = 0, ■ . . (1) 

 zoodal lief kernoppervlak wordl voorgesteld door 



a./ij 



hh 



<y, 



l>,b, 

 bj'j 



'!,</, 



'/,</, 



,/ ,/, 



= 



Om het aantal in een vlak gelegen paren X,Y te vinden, stellen 

 we in (1) ,v 4 = 0, y 4 = 0. Door eliminatie van //,, // 2 , //., vindl men 



dan de voorwaarden 



a t a x 





\h 



d z d x 



'I .il , 



cLd r 



(2) 



De determinanten, die uil deze matrix ontstaan, als men de derde 

 of de vierde kolom weglaat, verdwijnen voor de snijpunten van twee 

 kubische krommen ; hiertoe behooren de drie punten, waarvoor de 

 matrix der eerste twee kolommen verdwijnt. De vier kubische 

 krommen, die door (2) zijn aangewezen, hebben dus zes punten 

 gemeen, welke drie paren A, Y vormen. In een willekeurig vlak 

 liggen dus drie singulier* bisecanten der tweede soort. 



Hieruit volgt, dat de quadrupelinvolutie waarin r door eenig vlak 

 wordt gesneden, vijftien singuliere rechten bezit; dit is in overeen- 

 stemming met een resultaat dat ik bij een ander onderzoek heb 

 verkregen '). 



4. Wij beschouwen de bisecanten, welke de krommen </ door 

 een gegeven punt P zenden, en bepalen het oppervlak IJ, waarop 

 hun steunpunten liggen. De <j\ welke door P gaat, wordt uit P 

 geprojecteerd door een kubischen kegel, waarvan de ribben in P 



l ) Zie mijn mededeeling „Een quadrupelinvolutie in het platte vlak, en een 

 daarmede verbonden tripebnvolutie" (Verslagen 1910, deel XIX, bl. 54). 



