( 199 ) 



aan // raken: dus is P een drievoudig' punt (driekegelpunl van II. 

 Ken willekeurige rechte door /' is bisecante van één <>' ; dus is // 

 een oppervlak van den vijfden graad, met triconisch punt /'. 



De raakkegel van P kan met //"', behalve de door /' gelegde o', 

 slechts rechte lijnen gemeen hebben. Bijgevolg gaan door P elf 

 singuliere bisecanten. 



Hiertoe behooren tioee bisecanten van (i 4 en twee van ft' 4 ; de overige 

 zeven zijn singuliere bisecanten der tweede soort. Derhalve vormen 

 de singuliere bisecanten van r twee congruenties (2.6) en een con- 

 gruentie (7,3). 



5. De doorsnede van 77' niet een \ lak door P is een kromme 

 met een drievoudig punt, dus van de 14 t,L ' klasse, welke 8 raak- 

 lijnen door P zendt. De raaklijnen der o 4 vormen bijgevolg een 

 complex van den '(flitsten graad. 



De raakpunten der uit /•'getrokken raaklijnen liggen blijkbaar op 

 een ruimtekromme van den negenden graad. 



Dit kan als volgt bevestigd worden. De raakpunten der raaklijnen 

 uil /' naar de oppervlakken Q- liggen op een kubisch oppervlak, 

 het „pooloppervlak" van P t. o. v. den bundel (Q~). Een tweede 

 kubisch oppervlak bevat de raakpunten der raaklijnen uit P naai' 

 de oppervlakken van (Q°)' . Elk snijpunt der beide pooloppervlakken 

 bepaalt een o 4 , waarvan de raaklijn door P gaat; de raakpunten 

 der uit P getrokken raaklijnen liggen dus op een q\ 



6. (Q z ) en (Q"Y worden in een verwantschap (2,2) gerangschikt, 

 als men aan elkaar toevoegt twee oppervlakken, die elkaar op de 

 rechte / snijden. Daardoor worden de punten van een rechte m in 

 een (4,4) gerangschikt; dus bevat m acht punten, die elk twee opper- 

 vlakken dragen, welke elkaar op / snijden. Hieruit blijkt, dat de 

 krommen {>', die / snijden, een oppervlak J s vormen. 



<>p een rechte, die f? 4 snijdt, wordt de (4,4) vervangen door een 

 (2,4); wij besluiten hieruit, dat ;i 4 en ji' 4 dubbelkrommen van 1 H zijn. 

 Ook de o 4 , die / tot bisecante heeft, is een dubbelkromme van A*. 



7. Een vlak / door / snijdt A B nog volgens een kromme J.' , 

 welke door de steunpunten der dubbelkromme y 4 gaat, welke / tot 

 bisecante heeft. In elk der overige vijf snijpunten van / met 7.' wordt 

 het vlak ?. door een o 4 geraakt. De meetkundige plaats der raak- 

 punten van een gegeven vlak met krommen van r is derhalve een 

 kromme van den vijfden graad, 7.*. 



Blijkbaar is /. 5 de coïncidentiekrom me der door 7"" bepaalde qua- 



