( 200 j 



drupelinvolulle, en gaat ze door de acht punten, waarin ft 4 en j3' 4 

 dooi - 1 worden gesneden l ). 



Daar deze involntie 15 quadrupels beval, waarin drie punten zijn 

 sainengevallen "), wordt een willekeurig vlak door rij/tien krommen 

 van r geoscilleerd. 



Verder bestaan vier quadrupels elk uit twee coïncidenties 2 !; dus 

 is elk vlak dubbelraakvlak voor vier krommen van V. 



Laat men ). om / wentelen, dan beschrijft de kromme ). : ' een 

 oppervlak, waarop / een enkelvoudige rechte is. Want door elk punl 

 van / gaat één o', en een der vlakken door de raaklijn van dat 

 punl bevat /. Hieruit volgt, dat de meetkundige plaats der punten, 

 waarin krommen o' geraakt worden door vlakken van een bundel 

 met as /, een oppervlak van den zesden graad is. 



8. De krommen o', welke het vlak ). in de punten der kromme 

 ). h aanraken, snijden )■ elk in twee punten ; de meetkundige plaats 

 van die puntenparen is een kromme van den 14 e " graad") (vertak- 

 kingskromme) met viervoudige punten in de doorgangen der basis- 

 krommen [V en iï'. Het oppervlak, dat de hier bedoelde krommen 

 o 4 bevat, heeft dus met 1 een doorsnede van den 24 e " graad, is 

 bijgevolg een oppervlak A lA niet viervoudige krommen fJ 4 en /i' 4 . 



Mei een vlak ;i heeft A 2 * een kromme ft 24 gemeen, welke vier- 

 voudige punten bezit in de doorgangen niet /i 4 en ji' 4 ; deze acht 

 punten liggen op de kromme f<\ welke de meetkundige plaats is 

 van de raakpunten van << niet krommen van F. De beide krommen 

 hebben 24 X ^ — 8X4 = 88 punten, builen de basispunten, gemeen. 

 Derhalve zijn er 88 krommen q 4 , die twee vlakken aanraken. 



i>. Tot r behooren x' krommen ff 4 , die een dnbbelpunt bezitten, 

 omdat ze de doorsnede zijn van twee elkaar rakende oppervlakken. 

 Volgens een bekende eigenschap 3 ) is de meetkundige plaats der 

 raakpunten van Iwee quadratische oppervlakken, die tot twee gegeven 

 bundels behooren, een ruimtekromme q ia , welke ieder der beide 

 basiskronnnen in 16 punten snijdt. 



Op een willekeurig oppervlak Q~ liggen dus 2 X 14 — 16 = 12 

 raakpunten met evenzoovele oppervlakken Q*. De meetkundige plaats 

 der krommen ó" is dus het voortbrengsel van twee quadratische 

 bundels in verwantschap (12,12); ze is bijgevolg een oppervlak A 48 , 

 waarop ft" en ,'i' 4 twaalfvoudige krommen zijn. 



] ) Zie t. a. p. bl. 52. 

 -) Zie t. a. p. bl. 53. 

 :; ) Zie b.v. Mineo, Rendiconti de] Circolo matemuUeu dj Palermo, XV11, 297. 



