( 391 ) 



We zullen nu onderstellen, dat het verband tnsschen twee parti- 

 culiere integralen x(t) en y{t) van (A) gegeven is in een der beide 

 volgende gedaanten 



y = v(«) (ii) 



of 



F(*.y)=0 . (12) 



Deze laatste vergelijking zal in 't bijzonder tot grondslag dienen, 

 wanneer F(x,y) = Q een algebraïsche vergelijking van den n en graad 

 is. In dit geval zullen we haar gelijkslachtig maken door invoering 

 van den homogeniteitsfactor z (waarbij na afloop der bewerkingen 

 z = 1 gesteld wordt), en haar aldus schrijven : 



F («, y, z) = (13) 



Ons eerste werk is de functies 1 en q 1 te gaan uitdrukken in 

 een der beide integralen, bijv. x. We beginnen met de vergelijking 

 (11) en voeren de volgende afkortingen in : 



d(f _ <Pcp_ dx _ , tfx _ „ dy _ , d*y _ „ dq 1 _ , 



da; ~~ V *' dx* ~~ ' fxx '" "' dt, '~ X ' dt^ ~ X ' dt x ~ V ' dt* ~ y ' ' dt, ~ qi eHZ '' J 



dx ■ d*x ■■ dy ■ d z y ■■ dl . 



— = x , — - = x , — = y , =: y, — = 1 enz. 



dr dr dr dr* dr 



De beide functies x(t t ) en y{t\) voldoen aan de differentiaalverge- 

 lijking, welke we in den kanonischen vorm schrijven : 



x" + 9l x = (C\) 



3f" + fty = o (Q 



Hieruit volgt 



y" x — x" y == 

 of 



y x — x' y = c (14) 



Vatten we x en y op als (rechthoekige) coördinaten, dan stelt (11) 

 een zekere kromme voor. Bij elk punt dezer kromme behoort een 

 zekere x, dus een zekere t l . Beschouwen we nu den voerstraal die 

 een punt van de kromme met den oorsprong O verbindt, dan zal 

 deze bij 't doorloopen der kromme een perk beschrijven, waarvan 

 't element clS gelijk is aan £ (x dy — y dx). Voor vergelijking (14) 

 kunnen we dus schrijven: 



dS 

 dt 1 

 of 



t i = ~ s > (15) 



