( 431 ) 



00 x en 00 3 een willekeurig punt van het prismotoop met de twee 

 constituenten (P),., en (P)n a ". Wat dadelijk kan worden uitgebreid 



tot „als X , , P willekeurige punten van (P) Hl , (P)„ 3 , . . ., (P)„ 



zijn, is het eindpunt P der resultante OP van 00 x , 00 s , . . ., 00 p 

 een willekeurig punt van het prismotoop (P„, ; P„ 2 ; . . . ; P„ )". 



Dez^e vorm van voortbrenging toont de omwisselbaarheid van de 

 volgorde aller constituenten ten duidelijkste. 



Het prismotoop (P Wl ; P„ 2 ; . . . ; P„ ) is een polytoop, waarvan het 



p 

 aantal afmetingen door Sm wordt voorgesteld ; de ruimte met dit 



1=1 



aantal afmetingen, waarin het ligt, wordt door de ruimten R, h , P„ 2 ,..., R„ 



met het gemeenschappelijke punt volkomen bepaald. 



Doel van dit opstel is de kenmerkende getallen van het prismotoop 

 (P ni ; P„ s ; . . . ; P n ) op te sporen. 



2. Notatie. We duiden de aantallen der hoekpunten, ribben, zij- 

 vlakken, . . . , grenspolytopen (t) n —\ van een polytoop P„ door een 

 zelfde letter, bijv. a, met de aanwijzers 0, 1, 2, .... , n — 1 aan en 

 stellen dan bovendien door a n de met het polytoop zelf overeen- 

 komende eenheid voor. Maakt het polytoop deel uit van de groep 

 der EcLEirsche polytopen, wat we onderstellen het geval te zijn, dan 

 geldt dus de betrekking 



wat we uitdrukken door te zeggen, dat de „EüLER'sche vorm" A 

 van het polytoop, d. i. het linker lid der bovenstaande vergelijking, 

 de waarde 1 heeft. 



Voor de verschillende constituenten (P), ?1 , (P)» 2 , . . . , (P) n van het 

 prismotoop, die allen tot de EüLER'sche groep mogen behooren, voeren 

 we nu voor de a en A verschillende letters a, b, . . . , p en A, B, . . . ,Pin. 



3. We bewijzen nu het volgende lemma: 



„Het aantal grenselementen <J) q van q afmetingen van het prismotoop 

 (P„j ; P„„ ; . . . ; P n ) is gelijk aan de som der termen uit het product 



AB . . . P dev Etu-ER'sche vormen van de constituenten, waarvoor 

 de som der aanwijzers q bedraagt, en wel met het positieve of negatieve 

 teeken, naarmate q even of oneven is". 



Voorbeeld. Voor het prismotoop met drie vijfhoeken tot constituenten 

 geeft ontwikkeling van (a — a x -\- a,) (è — b x -\-b 2 ) (c —c x -\-c„) onder de 

 voorwaarden 



«. = b o = c o = a i = *i = c i = 5. a, = i 3 = c, = 1, 



