( 456 ) 



waarden van m ; terwijl de waarden van d en d' in tegengestelde 

 richting worden gemeten: die van d van lagere naar hoogere waarden, 

 die van d' juist omgekeerd. Daardoor zullen blijkbaar de oneven 



dd\ /d'<T 



diiï'erentiaalquotienten — , — - , etc. in de MAC-LAURiN'sche 



\dtJk \dr 3 Ji 



reeksontwikkeling, derhalve ook de coëfficiënten a, c, etc, bij d en 



d' , tegengestelde teekens verkrijgen. 



Trouwens begint men met de coëfficiënten in d' verschillend aan 

 te nemen van die van d, dan wordt de berekening alleen veel om- 

 slachtiger, maar men vindt ten slotte toch a = a' , b = b' , c = c', 

 etc, waarvan wij ons ten overvloede hebben overtuigd. 



Met 



x = ar -f- c* 3 + er b + . . . 

 y — èr 2 + dr* + . . . 

 wordt alsnu : 



d = 1 + 2* + 2y 

 d' = 1 — 2,v -f 2y 



d + d' = 2(l-f2y) 



d — d' = 4x. 



■d — d =2 (1—x—y) 

 3-d' = 2(l+*-y) 

 En hierdoor gaat (1°), nl. (3 — e?) (3 — of') {d -f- c?') = 8m, over in 

 (l-ar-y)(l + *-y)(l + 2y) = m, 



of ook, daar (1 — .r — ?/) (1-j-a: — //) = (1 — i/f — ,)f = 1 — 2// — (,/; 2 — ƒ) 

 is, in 



(l-4y 2 )-(l4-2y)(.* 2 -y 8 )=:m. 

 Hierin nu de waarden van x en y substitueerend, zoo wordt 



l_4(^ r <_|_2èaV) — (l+2&T 2 + 2dr 4 ) [(aV-f 2aeT 4 4-cV4-2aet 8 ) — 



— (//V + 26aV)] = 1 — t 2 , 



wanneer wij in de ontwikkeling overal zoodanig afbreken, dat geen 

 hoogere machten dan t k zullen ontstaan. Daar x = Vl—m is, zoo 

 is m. = 1 — t 2 . 



Verdere uitwerking geeft: 



1 — 46V — 8bdz< — (l + 2br' + 2dt i ) [aV + (2ac-b-)r i -f 



+ (<r-f2a«— 26</)t«] == 1 — t 2 , 

 d. w. z. 

 1 - aV - (2arb-\-W- + 2ac) r< - (4abc~2b 3 -\-c i -\-2a i d+6bd-\-2ae)x e = 1-t 2 . 



Hieruit volgt alzoo : 

 a 2 — 1 | 2a 2 6+36 2 4 2ac = | 4aZ>« — 26 3 -f- « 2 + 2a 2 d + 66rf 4- 2ae = 0. 

 Wij vinden dus reeds onmiddellijk uit de eene vergelijking (l a ) : 



a== 1. 

 De beide andere bovenstaande betrekkingen gaan daardoor over in 



