( 463 ) 



vlakke kromme k" van den >i en -graad en de n(n — l) e klasse, waaruil 

 volgt dat (/(• beide richtlijnen >\, r., n(n — ï)-voudige rechten van het 

 te onderzoeken regelvlak 42 zijn. 



Een vlak door i\ bevat de n(n — l)-voudige rechte i\, alsmede 

 de n(n — 1) enkelvoudige beschrijvenden door liet snijpunt van dat 

 vlak met i\ : 42 is dus een oppervlak van den graad '2n(n — 1). 



Laat S, een snijpunt zijn van i\ en </>. Het vlak S^'^ snijdt nu 

 uit <P eene k" die het punt S x zelf bevat, waaruit volgt dat twee van 

 de 7i(n — 1) beschrijvenden van 42 door »S, met de raaklijn in S 1 aan 

 k" samenvallen ; door elk van de n punten S x gaat dus eene torsaal- 

 lijn van 42, en het bijbehoorende raakvlak, dat wij gemakshalve 

 „torsaal vla IS' zullen noemen, is blijkbaar het vlak S x r % . Hetzelfde 

 geldt natuurlijk voor >\. 



Er liggen echter nog andere cuspidaalpuuten op i\. Denken wij 

 nl. een raakvlak door r, aan «P gebracht, dan zal dit <I> snijden 

 volgens eene k" met een dubbelpunt in het raakpunt ; de verbindings- 

 lijn van dit raakpunt met het snijpunt C\ van het bedoelde raakvlak 

 en ?\ geldt voor twee samenvallende beschrijvenden van 42 door C X) 

 en is dus eveneens eene torsaal lijn ; ook de punten C x zijn dus cuspidaal- 

 punten van 42. Hun aantal is gelijk aan de klasse van <P, dus n(n — 1)-, 

 en de bijbehoorende torsaalvlakken zijn de vlakken Cp\ 2 . Hetzelfde 

 geldt natuurlijk ook van ;■,. 



Andere cuspidaalpunten op r, of i\ zijn niet mogelijk. Immers, 

 zullen voor een punt A 1 van r x twee raaklijnen aan de in het vlak 

 .-!,/', gelegen kromme k" samenvallen, dan is dit slechts mogelijk of 

 op eene van de beide zooeven beschreven manieren, óf doordien 

 eene bitigraaklijn of eene dubbele raaklijn van /" door A x gaat. 

 Deze laatste gevallen doen zich inderdaad in het algemeen voor 

 (vgl. §§4, 6), voeren echter blijkbaar niet tot torsaallijnen, maar tot 

 keerribben en dubbele beschrijvenden. Het volledig aantal cuspidaal- 

 punten op r x (of i\) bedraagt dus n -\- n (n — l) 2 = n (n° — In -f- 2). 



§ 3. Daar iedere beschrijvende van 42 eene raaklijn is van <P, 

 zullen 42 en <P elkaar volgens een zekere kromme aanraken, terwijl 

 beide oppervlakken in het algemeen bovendien nog eene werkelijke 

 doorsnijdingskromme zullen bezitten ; immers van de n snijpunten 

 van eene beschrijvende van 42 met <P behooren slechts twee (samen- 

 vallendej tot de contaetkromme, de n — 2 overige tot de doorsnij- 

 dingskromme. 



Den graad der contaetkromme vinden wij op de volgende wijze. 

 Een vlak door r, en een punt A x van i\ snijdt <P volgens eene 

 kromme k", en de raakpunten van de raaklijnen uit A x aan deze 



31* 



