( 404 ) 



kromme gelrokken, zijn de snijpunten van k" met de eerste pool- 

 kromme /V — ' van -^1 ten opzichte van /!"'. De meetkundige plaats 

 van al deze krommen p," — ' is een oppervlak, dat wij gemakshalve 

 het ,, eerste pooloppervlak van t\ ten opzichte van <ï> en r" zullen 

 noemen; de doorsnede van dit oppervlak en <ï» is de gewenschte 

 contactkrom me. 



Het is gemakkelijk in te zien dat het eerste pooloppervlak van i\ 

 ten opzichte van <t> en i\ van den n ei -graad is, en de lijn t\ als 

 enkelvoudige rechte bevat. Een vlak door >\ n.1. bevat de eerste 

 poolkromme p l "~ 1 van het snijpunt A l van dat vlak met i\ ; wentelt 

 nu het vlak om i\, dan zullen zich de snijpunten van ;V' — ' en i\ 

 in het algemeen langs de lijn i\ verplaatsen, waaruit volgt dat 1\ 

 zelve op het gezochte pooloppervlak ligt; de vraag is dus slechts 

 hoeveel verschillende poolkrommen 7> 1 "~ 1 door een willekeurig punt 

 van i\ gaan. Wij kiezen voor dit punt een van de snijpunten S 3 van 

 r, en <I>. Zal de eerste poolkromme y>," — ' van een zeker punt A l 

 van >\ door S., gaan, dan moet eene van de raaklijnen, in het vlak 

 A\r 3 aan de in dat vlak gelegen kromme k n getrokken, haar raak- 

 punt in S 3 hebben, en dus het oppervlak *P in S t aanraken. Nu 

 snijdt het raakvlak in S 2 aan «ï» de lijn i\ slechts in één punt; dus 

 gaat ook slechts ééne kromme /V -1 door >S'.,, en dus ook door een 

 willekeurig ander punt van )\. 



lede: vlak A x >\ bevat dus van het gezochte oppervlak eene kromme 

 ]> l "~ ' en de enkelvoudige rechte r 2 ; het oppervlak is dus van den 

 graad n. Wij zullen het aanduiden door het symbool //,". Het snijdt 

 <I> volgens eene kromme van den graad « 2 , en deze is de gezochte 

 contactkromme C' 2 van Si en «2>. Ook r„ bezit natuurlijk een eerste 

 pooloppervlak, /7 2 ", doch nu ten opzichte van «P en >\ ; het snijdt 

 <P volgens dezelfde kromme e" 2 . Het is duidelijk dat C 1 zoowel de 

 u snijpunten S x van i\ en <P, alsook de n snijpunten S. z van r., en 

 '/» bevat; de torsaallijnen door deze punten raken hier c"° aan, om- 

 dat zij zoowel <I> als //, en 77„ aanraken. In een punt -S, n.1. raakt 

 de torsaallijn aan eene kromme t', dus aan <I>, en aan eene kromme 

 Wj" -1 , dus aan 77,, en derhalve ook aan de doorsnede c"" dezer 

 beide oppervlakken. 



Wij controleeren deze uitkomsten langs analytischen weg. Laat 

 t\ samenvallen met de ribbe A 3 A, {x, = x. 2 = 0), r. 2 met de ribbe 

 A 1 A 2 (x s = x< = 0) van het fundamenlaaltetraëder, en laat «Peen 

 homogene veelterm van den n en -graad in x x . . . x A , <1> = dus de 

 vergelijking van het oppervlak <7» zijn. 



Voor een vlak door r 3 = A 1 A 3 zijn de beide homogene coördinaten 

 ii en § 3 nul, zoodat de vergelijking luidt: 



