(467) 



ö=«P d*<P 9 5 «J> 



iT,* = x 3 2 ^— + 2.v 3 .v 4 + .r 4 a = O, 



o.« s 2 ox s dx 4 or 4 ' 



en dit heeft blijkbaar de lijn A t A % tot dubbelrechte. Voor de door- 

 snede van 77, en K x *, of A~, en K*, telt dus i\ dubbel; dus moet 

 zij ook voor de doorsnede van IJ 1 en A", dubbel tellen, waarmee is 

 aangetoond dat deze twee oppervlakken in ieder punt van r, het- 

 zelfde raakvlak hebben. 



De vergelijking van <P laat. zieh niet slechts brengen op den vorm 



Sxi - — = 0, maar ook op den svmbolischen vorm \2xi — =0. 



Ox; | OXi \ 



Stellen wij nu hierin, ten einde de n snijpunten S l met r i te bepalen, 

 :l\ = x t = 0, dan blijft juist de vergelijking K x * = over, waaruit 

 volgt dat de n punten >S, tevens op A', s , en dus ook op A' , liggen ; 

 zelfs is gemakkelijk aan te toonen dat elk dezer punten voor het 

 aantal snijpunten der drie oppervlakken <P, n i , AY* dubbel telt. In 

 een vlak ,S',r., nl. ligt, als doorsnede met <7 J , eene kromme k'', als 

 doorsnede met 77, de eerste poolkromme van deze, pf -1 ., en deze 

 krommen raken elkaar in £, . Nu is echter de kromme q y n ~ l weer 

 de eerste poolkromme van <S, ten opzichte van de kromme van den 

 n eu graad, bestaande uit pf— v en r„ ; dus raakt q,"~ x in S 1 de beide 

 andere krommen aan. De raakvlakken in 5, aan de drie genoemde 

 oppervlakken snijden elkaar dus volgens dezelfde rechte, nl. de 

 torsaal lijn van £2 door S l (§ 2); elk dezer punten geldt dus inderdaad 

 voor twee snijpunten der drie oppervlakken. Nu liggen buiten r„ (zie 

 boven) n (>r — 2) dezer punten ; trekken wij ook de '2n punten *§, 

 nog af, dan blijven n (n* — 4) punten over, die noch op r, , noch op 

 ?', liggen. Denken wij door zulk een punt P en r t een vlak gebracht, 

 en dit in A l met r, gesneden, dan gaan de in dit vlak gelegen 

 krommen h", T^" -1 , q"~ x (en dus ook de tweede poolkromme /V r ~' 2 

 van .4,) alle door P, waaruit volgt dat P voor k" een buigpunt, en 

 dus A 1 P eene van de twee hoofdraaklijnen (osculeerende raaklijnen) 

 van <P in P is. Hiermede is aangetoond dat in de congruentie der 

 hoofdraaklijnen van liet algemeene oppervlak van den n e " graad 

 n (n° — 4) van deze lijnen op twee willekeurige rechten rusten, of m. a. w. 

 dat de hoofdraaklijnen, die eene loillekeurige rechte snijden, een regel- 

 vlak vormen van den graad n {n 2 — 4). 



Door een willekeurig punt der ruimte gaan n (n — 1) (n — 2) van 

 zulke lijnen 1 ); immers wij hebben eenvoudig de snijpunten te nemen 

 van het oppervlak zelf met het eerste en tweede pooloppervlak van 



') Gremoxa — Guetze: „Grund-/.üge einer allgemeinen Theorie der Oberflachen", 

 p. 64, of Salmon— Fiedler: „Anal. Geom. des Raumes", II. Theil, p. 24. 



