( 4ö8 ) 



het gekozen punt; het zooeven gevonden oppervlak heef l dus de rechte, 

 waarop alle beschrijvenden rusten, tot n(n — 1) (ra — 2)-voudige rechte. 



Een vlak door deze rechte bevat, behalve de n (ra — 1) (ra — 2)- 

 voudige rechte, eene doorsnijdingskromme van den graad ra (ra 2 — 4) — 

 — ra (ra — 1) (ra — 2) = 3ra (ra — 2), waarvan echter gemakkelijk is aan 

 te toonen dat zij uit 3ra (ra — 2) rechte lijnen bestaat; immers door een 

 willekeurig punt van deze doorsnede moet eene hoofdraaklijn van 

 het oppervlak gaan die op de veelvoudige rechte rust, en dus geheel 

 in het vlak ligt. De 3ra (ra — 2) rechten zijn blijkbaar de buigraaklijnen 

 van de doorsnede van het beschouwde vlak met het ra"-graads- 

 oppervlak. 



Een gewoon raakpunt van eene beschrijvende van Q met «f» is 

 een enkelvoudig punt der contactkromme c"' 2 (§ 3) ; in elk van de 

 zooeven gevonden ra (ra 2 — 4) punten P echter heeft de beschrijvende 

 A Y P met 4> eene driepuntige aanraking, met 77, eene tweepuntige, en 

 dus ook met c' l ~ eene tweepuntige-; er zijn dus ra (ra 2 — 4) beschrijvenden 

 van Q die c"~ aanraken. 



§ 5. Eene beschrijvende van Ü raakt <P aan, en heeft dus, behalve 

 het raakpunt, nog ra — 2 punten met dit oppervlak gemeen ; in een 

 vlak A{r t liggen dus ra(ra — l)(ra — 2) zulke punten, nl. op elk van de 

 n'n — 1) beschrijvenden in dit vlak telkens ra — 2. Al deze punten liggen 

 op eene kromme van den graad (ra — ï){n — 2), de satellietkronime der 

 eerste poolkromme Pi" - ' van A 1 ten opzichte van k". Wentelt het 

 vlak om r., , dan zal de satellietkronime een oppervlak voortbrengen, 

 dat wij het „satellietoppervlak" van i\ ten opzichte van «f» en r., 

 zullen noemen, en dat uit '/» blijkbaar de restdoorsnijding met ii 

 zal snijden. 



De doorsnede van het satellietoppervlak 2, met een vlak A s i\ 

 bestaat uit eene satellietkronime s, van den graad {n — l)(n — 2), 

 en uit de lijn r t ; het is de vraag hoeveel verschillende satelliet- 

 krommen door een willekeurig punt van r, gaan. Om deze vraag 

 te beantwoorden beschouwen wij weer in het bijzonder een snijpunt 

 S 2 van i\ en 'Ik Zal de in een vlak A 1 r 3 gelegen kromme s, door 

 S 2 gaan, dan moet A l S 2 eene raaklijn zijn aan <I>, zonder dat het 

 raakpunt met ,S 2 samenvalt. Nu snijdt het vlak i\S 3 uit 'I> eene 

 kromme van den ra cn graad, die het punt »S' 2 zelf bevat, en waaraan 

 dus uit 5 a ra (ra — 1) — 2 niet in »S 2 zelf rakende raak lijn en ie trekken 

 zijn ; in de vlakken door deze raaklijnen en r 2 zullen de krommen 

 s l door ;S. 2 gaan. Wij vinden das voor het satellietoppervlak 2 1 een 

 oppervlak van den graad (ra — 1) (ra — 2) -(- ra (ra. — 1) — 2 = 2ra (ra — 2), 

 met eene [ra. (ra — 1 — 2\-voudige rechte i\. De satellietkronime van c"" 1 , 

 de doorsnede van *P en 2 l , is dus eene kromme van den graad 



