(470 ) 



Wij controleeren de voorgaande resultaten op de volgende wijze. 

 De volledige doorsnede van 52 en is eene kromme van den graad 

 2n 2 (n — 1); zij bestaat uit de contactkromme c"' , dubbel geteld, en 

 uit de satellietkromme; en 2>f -f- 2>i 2 (n — 2) geeft inderdaad 2re'(« — 1). 



§> 6. Het oppervlak <Z bevat in het algemeen een zeker aantal 

 dubbele beschrijvenden, dus dubbele raaklijnen van <I> die i\ en i\ 

 snijden ; hun aantal bepalen wij door den graad van het regelopper- 

 vlak te bepalen dat gevormd wordt door alle dubbele raaklijnen van 

 «/> die ?', snijden. Een vlak door /■, snijdt uit <J» eene t', en deze 

 bezit | n(n — 2)(?r — 9) dubbele raaklijnen, en door een willekeurig 

 punt van r x gaan h n(n — 1)(« — 1){n — 3) dubbele raaklijnen; 1 ) het 

 gezochte oppervlak is dus van den graad \ n(n — 2)(n 2 — 9) -\- 

 -j- i n (n — 1) (n — 2) [n — 3) = {n-\-l) (n) (n — 2) (n — 3), en heeft }\ tot 

 \n(n — 1)(h— 2){n — 3)-voudige rechte. Het aanthl dubbele beschrijvenden 

 van Q is gelijk aan het aantal snijpunten van dit oppervlak met r.,, 

 dus gelijk aan {n-\-ï){n)'n — 2)(n — 3). 



Met behulp van de raakpunten der dubbele beschrijvenden met 0, 

 alsmede van de in § 4 gevonden n{n"-— 4) punten op hoofdraaklijnen 

 van 0, kunnen wij nu de onderlinge ligging der vier oppervlakken 

 Q, *P, n i , £ ls alsmede van hunne doorsneden, volledig overzien. 

 Wij vestigen voornamelijk onze aandacht op de contactkromme c'\ 

 en de bijbehoorende satellietkromme. Volgens § 4 zijn er n (n 5 — 4) 

 beschrijvenden van Si die c' 2 aanraken; is Peen van de raakpunten, 

 A 1 het snijpunt met i\, dan js P een buigpunt voor de in het vlak 

 Aj\ gelegen doorsnede k> met </>, A X P de bijbehoorende buigraaklijn, 

 en deze telt voor twee van de n (n — 1) raaklijnen die uit A 1 aan A 1 

 te trekken zijn, zoodat behalve de buigraaklijn nog slechts n (n — 1) — 2 

 raaklijnen door A t gaan. Elk van deze snijdt /:'' in n — 2 punten, 

 alle tezamen dus in \n(n — 1) — 2 \ (n — 2), terwijl het volledig 

 aantal snijpunten van de satellietkromme van /V' -1 met ^'' n ( n — l)( n — ^) 

 bedraagt; de ontbrekende 2 (n — 2) moeten dus door de buigraaklijn 

 geleverd worden. Nu is gemakkelijk in te zien dat door eene geringe 

 plaatsverandering van A x de buigraaklijn uiteen zou vallen in twee 

 afzonderlijke raaklijnen ; door nu in dezen stand op de satelliet- 

 kromme te letten, en dan tot de buigraaklijn terug te keeren, over- 

 tuigt men zich dat de satellietkromme van /V -1 &" aanraakt in de 

 n — 3 snijpunten van de buigraaklijn, 



Nu ontbreken dus slechts nog 2 punten, en deze kunnen nergens 

 anders liggen dan in P ; de satellietkromme van Pi l ~ l raakt dus in 

 P de kromme k n aan. Deze satellietkromme nu ligt op het satelliet- 



') Gremona — Cuutze, 1. c. p. 64. Salmon — Fiedler, 1. c. p. 25. 



