( 472 ) 



opvatten als voortgebracht door de verbindingslijnen der overeen- 

 komstige punten van twee op i\ en 1\ gelegen puntenreeksen, tusschen 

 welke eene \n{n — 1), n(n — l)}-verwantschap bestaat. Projecteeren wij 

 deze beide reeksen uit eene willekeurige rechte /, dan ontstaan twee 

 collocale vlakkenbundels, tusschen welke eveneens eene \n{ii—l),n(n—V)\- 

 verwantschap beslaat; de 2n(?i — 1) coïncidenties zijn vlakken, die 

 elk de verbindingslijn van twee toegevoegde punten, dus eene be- 

 schrijvende van Q, bevatten, waaruit voor den graad van £2 volgt 

 1n{n— 1) (§2). 



Op elk der beide dragers liggen 2n(n— l)jn(rc-l)— 1] = 2n(n 3 -2n 2 -|-l) 

 vertakkingspuhten M, d.w.z. punten, van wier toegevoegde op den 

 anderen drager twee samenvallen, welke samenvallende punten dan 

 dubbelpunten genoemd worden ; wij willen nu onderzoeken hoe 

 in ons geval die vertakkingspunten voor den dag komen. Wij be- 

 schouwen dan in de eerste plaats de n snijpunten S l van i\ met 0. 

 In het vlak ^r, ligt eene kromme k" die door S l gaat; door ,S X 

 gaan dus n(n — 1) — 2 raaklijnen die niet in S lt en twee samenvallende, 

 die wel in *S, raken; >S', is dus blijkbaar een vertakkingspunt op r u 

 en het snijpunt van de door S l gaande torsaallijn met r t het bij- 

 behoorende dubbelpunt. Aantal n. 



Door r 2 gaan n(n — \f raakvlakken van <I>, en elk van deze snijdt 

 uit <b eene kromme k" met een dubbelpunt. Is het snijpunt van zulk 

 een vlak met i\ een punt A l; dan gaan uit A 1 n(n — 1) — 2 werkelijke 

 raaklijnen aan k", terwijl de verbindingslijn van A x met het dubbel- 

 punt voor twee samenvallende geldt; ook A l is dus een vertakkings- 

 punt. Aantal n(n — Jj 2 . 



Verder vonden wij in § 4 n[n 3 — 4) beschrijvenden van Q, die 

 tevens hoofdraaklijnen zijn van </>. Is het raakpunt van zulk eene 

 hoofdraaklijn met «I» P, en A l het snijpunt van het vlak Pi\vaetr 1 , 

 dan gaan uit A, n(n — 1) — 2 gewone raaklijnen aan k", en bovendien 

 de buigraaklijn AJ J , tweemaal geteld ; A x is dus weer een vertakkings- 

 punt. Aantal n(n 2 — 4). 



Eindelijk vonden wij in § 6 {n-\-l){n)(n — 2)(« — 3) dubbele be- 

 schrijvenden van i2; het is duidelijk dat ook de snijpunten van deze 

 met ?-j en i\ vertakkingspunten zijn. Aantal (?i-\-i){?i)(n — 2)(" — 3). 



Andere vertakkingspunten zijn er niet. Zal nl. een punt A x een 

 vertakkingspunt zijn, dan moeten twee van de raaklijnen uit A x aan 

 k" samenvallen, en dat is slechts mogelijk op eene van de hier- 

 boven beschreven vier manieren. Telt men nu echter de vier opge- 

 noemde aantallen bij elkaar, dan vindt men niet het gewenschte 



') Emil Weye „Beitrage zur Gurvenlehre", p. 3. 



