( 473 ) 



volledige aantal vertakkingspnnten 2n(n' — 2n 2 -f- 1), maar slechts 

 ?i(n' — 2«" — n -f- 4), d.w.z. voor zeer groote waarden van n slechts 

 ongeveer de helft ; daarentegen vindt men het juiste aantal, indien 

 men de n (n 2 — 4) punten der derde groep driemaal, en de 

 (n -\- 1) (n) (n — 2) (n — 3) der laatste dubbel in rekening brengt. 

 Het is de vraag hoe dit te verklaren is. 



Brengen wij een vlak door een willekeurig punt O der ruimte 

 en eene beschrijvende b van 12, en eveneens door eene naburige 

 beschrijvende b*, en laten daarna b tot b* naderen om er ten slotte 

 mee samen te vallen, dan gaat bij de limiet de snij lijn O BB* der 

 beide vlakken over in eene ribbe van den omgeschreven kegel van 

 ££ die O tot top heeft; B wordt het raakpunt van die ribbe 

 met 52, dus een ["punt van de doorsnede van 52 met het eerste 

 pooloppervlak van O. Denken wij een punt A, van i\, in de 

 onmiddellijke nabijheid van een vertakkingspunt gelegen, dan zullen 

 van dit punt o.a. twee zeer dicht bij elkaar gelegen besehrijvenden 

 van 52 uitgaan ; de vlakken door die besehrijvenden en O zijn twee 

 zeer dicht bij elkaar gelegen raakvlakken van den omgeschreven 

 kegel, en (A4, is dus eene in de onmiddellijke nabijheid van dien 

 kegel gelegen rechte. Bij den overgang tot de limiet wordt dus ook 

 het vertakkingspunt,, evenals hierboven het punt B, een punt van 

 de doorsnede van ii met het eerste pooloppervlak van O. Deze 

 doorsnede bestaat nu echter in ons geval uit tal van afzonderlijke 

 stukken. Door eene dubbelribbe van 52 bijv. gaan twee bladen van 

 52, en gaat één blad van het eerste pooloppervlak; de dubbelribbe 

 vormt dus een deel van de doorsnede der beide oppervlakken, telt 

 echter dubbel, en levert dus in haar snijpunt met >\ twee samen- 

 vallende vertakkingspnnten. Natuurlijk eveneens voor i\. 



Soortgelijke beschouwingen gelden ook voor de n (ft 2 — 4) keer- 

 ribben van 52. Ieder vlak door O snijdt ii. volgens eene kromme 

 die op de keerribben keerpunten heeft, en het is bekend dat de 

 eerste pool krom me van O ten opzichte van die kromme de keer- 

 punten bevat en de keerpuntsraaklijnen aanraakt. Hieruit volgt dat 

 het eerste pooloppervlak van O ten opzichte van 52 de keerribben 

 bevat, en in elk punt van zulk eene ribbe met 52 het raakvlak 

 gemeen heeft; iedere keerribbe telt dus driemaal bij de doorsnijding, 

 en levert dus ook drie samenvallende vertakkingspnnten op i\ en r a . 



Hiermede zijn alle vertakkingspunten verantwoord. 



§ 8. De schijnbare omtrek van het oppervlak 52 uit een wille- 

 keurig punt O der ruimte op een plat vlak bijv. is de doorsnede 

 van dat vlak met de projectie (uit O als centrum) van de doorsnede 



