( 475 ) 



samen, en de projectie dezer ribbe wordt eene buigraaklijn van den 

 schijnbaren omtrek. 



Denken wij nu een vlak door en r x . Laat S a liet snijpunt zijn 

 van dit vlak met >\, dan zijn aan dit punt n (n — 1) punten op i\ 

 toegevoegd, en de projectie van i\ raakt den schijnbaren omtrek aan 

 in de projecties dier punten ; de schijnbare omtrek heeft dus de 

 projecties van i\ en r a tot n (n — l)-voudige raaklijnen. Herleiden 

 wij nu deze meervoudige raaklijnen tot dubbele, onderstellen verder 

 dat de zooeven gevonden dubbele en buigraaklijnen de eenige zijn 

 die de kromme bezit, en bedenken eindelijk dat de klasse der kromme 

 In (n — 1) is, dan wordt de Plücker'sche formule ter bepaling van 

 den graad identisch met de formule aan het begin dezer §, en vinden 

 wij dus voor den graad het juiste getal ; wij bezitten dus ook de 

 juiste aantallen der dubbele en buigraaklijnen, zoodat nog slechts die 

 der dubbelpunten en keerpunten ontbreken. De Plücker'sche formule 

 i — x = 3 (v — ft) levert ons x = i -|- 3 (ft — v) ■ zet men hier de 

 waarden in, dan vindt men x = 6 n* — 26 n a -\~ 24 n 2 -4- 32 n — 36. 

 Eindelijk levert ons de formule » = f* (f« — 1) — 2 (f — 3 x het dubbele 

 aantal dubbelpunten : 2 6 = ft (ft — 1) — v — 3 x, dus 2 ó = (2 n 4 — 



- 9 n z + 10 n 2 + 10 n — 12) (2 n' — 9 n* + 10 ir + 10 n — 13) — 



- 2 n (n — 1) - 3 (6 n* — 26 n' + 24 n 2 + 32 ra — 36). 

 Samenvattend hebben wij dus gevonden: de schijnbare omtrek van 



Q op een willekeurig vink w eene kromme van den graad 2 n* — 



- 9« a -\- 10/r -\- lOn — 12, van de klasse 2n (n — 1), met een aantal 

 dubbelpunten = (f (zie boven), een aantal keerpunten = x (zie boven), 

 met (n-\-l)(n)(n — 2)(n — 3) dubbele raaklijnen, de projecties der dubbele 

 beschrijvenden van i2, met n (n 2 — 4) buigraaklijnen, de projecties der 

 keer ribben van Si, en met twee n(n — l)-voudige raaklijnen, de projecties 

 der beidr richtlijnen t\ , i\ . 



§ 9. Is £2 werkelijk eene conoïde, d.w.z. is i\ de oneindig verre 

 rechte van een richtvlak, dan wordt dit laatste in den regel tot 

 projeclie\lak gekozen, en wordt dus de projectie van het oppervlak 

 op een vlak door eene van de beide richtlijnen van belang. In de 

 aan het eind der vorige § genoemde aantallen komt geen verandering; 

 in het geval der conoïde bezit dus de schijnbare omtrek op een 

 richtvlak n(n — 1) parabolische takken. Iets anders echter is het indien 

 de conoïde recht is, d.w.z. indien i\ loodrecht staat op het richtvlak; 

 is dan dit laatste bijv. horizontaal, en wenscht men den schijnbaren 

 omtrek van Li voor het punt Z«, als centrum, dan heeft men te 

 projecteeren uit een punt van het oppervlak zelf, en wel een dat op 

 de n(n — l)-voudige rechte r, gelegen is. Het is nu dadelijk in te zien 



