( 485 ) 



bijzonder geval ervan kunnen worden beschouwd, waarbij ook c x = 0. 



Men kan dus zeggen : 



„Dubbelpunten en geïsoleerde punten van de raakkromme liggen 

 altijd op de spinodale lijn." 



Een uitzondering zou alleen aanwezig zijn indien het punt Pop het 

 oppervlak zelf viel ; dan zou natuurlijk steeds daar ter plaatse een 

 geïsoleerd punt of dubbelpunt optreden ; wat wij hier eehtei buiten 

 bespreking laten. 



11b.*- Het punt O is een plooipunt. 



Wij nemen (Fig. 10) OP tot Y-as, zoo- 

 dat, behalve p = 0, c, = en c, = 0, thans 

 ook nog d t = ! ). 



Uit (19) volgt nu dat het plooipunt een 

 dubbelpunt der raakkromme is en tevens 

 dat de lijn OP zelf een der raaklijnen is. 

 Om deze raakkromme verder te onderzoe- 

 ken schrijven wij (2) (na daarin p = 0, 

 c, = 0, c, = en d t = gesteld te hebben) 

 in den vorm : 

 A.r- + B.vij + Cai 3 + D.vhj -l Exf + F<f -f . . . = 0. . (20) 



Om hieraan te voldoen door 



x — kf 



moet men hebben Bk -\- F = 0. Hieruit volgt nu, daar B = 2d s q 

 en F = 4 qe b : 



Fk. 10. 



x-— — y' 

 d, 



(21) 



dus vergelijking (12), die de binodale lijn in de nabijheid van het 

 plooipunt voorstelt. 



Ue raakkromme valt dus in de nabijheid van het plooipunt met 

 de binodale lijn samen. 



Dit samenvallen geldt, zooals natuurlijk is en uit het volgende nog 

 nader blijkt, niet meer voor de hoogere termen. 



Wij stellen nl. : 



x = hj" -\- my* 



en substitueeren deze waarde in C20). Zooals dadelijk zal blijken 

 moeten wij in (20) dan ook nog den term y* opnemen. Wij schrijven 

 daarvoor Gy*. 



i) D. .1, Korteweg. Arch. Néerl. (I). 24 61. (1891). 



