( 59Ó ) 



is nu een betrekking (IJ) of (12) gegeven, dan kunnen Wc van 

 de daardoor voorgestelde kromme de tangentieele vergelijking (in u, v) 

 bepalen. De lijncoördinaten u en o zullen dan aan een zekere differen- 

 tiaalvergelijking voldoen. Lellen 'we op het autodnale karakter van 

 de homogene lineaire transformatie, waartegen de differentiaalver- 

 gelijking (A) (resp. (8) en (C)) bestand is, dan kunnen we verwachten-, 

 dat de differentiaalvergelijkingen voor u en v met die voor x en y 

 een nauwe verwantschap zullen vertoonen. 



Het is thans ons doel de differentiaalvergelijkingen voor u en v te 

 onderzoeken. 



De raaklijn in '1 punt (x,y) van de kromme (11) of (12), aan 

 deze getrokken, heeft tot vergelijking 



dn 

 r-y=/(X-«) 



(1,1- 



of 



— Xdy + Ydx -f (xdy—yda;) = 0. 



Noemen we u en v de lijncoördinaten van deze raaklijn, dan is 

 ze bepaald door 



AuX | BvY -f r — il. 



Hieruit volgt (zie (14) en (15), l 1 ' jneded. p. 391) 



C dy C dy _ C dy _ C , 



" .1 cüdy—ydx ~ ' 2A dS ~ ' cA dt x " ~~ cA ! ' ' 



< ' </.,■ t ■ da _ C da _ C , 



+ B xdy — y da; ~ lil dS ~ r cBdt, ~ cB '' ' 

 dus 



"- - ',."' ' °'= + i- v ' (35 > 



cA </> 



Door differentiatie naar /, vinden we, met behulp van (C), 



c , c 



"■ = -.il = + -,'7,.'/' 



cA Cj l 



, C , C 7/ , 



"■ = + , v. y + — ; 'hl' = + "■— 7i"' 



cA cA y, 



zoodal ii voldoet aan de differentiaalvergelijking 



«" — — u' -t- ?l u = (3C) 



<?i 



Het is gemakkelijk in Ie zien, dal /• aan deze zelfde vergelijking 



voldoet. 



Willen we (36) in den kanonisehen vorm 



