t. 



( 5!>2 ) 



De pool (5 »/) lieef't dan toch Lol poollijn 



A&e + Biiy + C = C 

 zooclat 5 en ?/ inderdaad door dezelfde vergelijking aan x en // ge- 

 koppeld zijn als u en v. 



De door ons verkregen uitkomst kan dus nok als volgt worden 

 ingekleed : 



Transformeeren we de kromme (11) of' (12) door polarisatie l. o. 

 van de kegelsnede (44), dan ontslaat een nieuwe, aan de oorspronkelijke 

 dualistisch toegevoegde kromme, welker functie / het tegengestelde 

 is van de bij de gegeven kromme behoorende functie /. 



Hadden we in plaats van de kegelsnede (44) de kegelsnede 



P.,r + ZQxy + Rf -rS=0, (45) 



die eveneens haar middelpunt in <> heeft, voor de polarisatie aan- 

 gewend, dan zouden we hetzelfde resultaat bereikt hebben. De door 

 polarisatie t. o. van (45) uit (11) of (12) verkregen kromme ? n = «^(IJ 

 of /^(ïj.jjji = e, ontstaat dan, zooals gemakkelijk kan aangetoond 

 worden, uil de door polarisatie I. o. van (44) verkregen kromme 

 <mU' of' L(£„i}) = door toepassing' van de voor de differentiaal- 

 \ ergelijking onverschillige transformatie 



5 = «£, + ,?i n , r t = yl,, + <h h . 



Het komt er dus slechts op aan de gegeven kromme te polariseeren 

 I. o. van een kegelsnede, die haar middelpunt in <> heeft. 



We zullen in 't vervolg die krommen, die uit de gegeven kromme 

 ontstaan door homogene lineaire substitutie, gelijkwaardig mei de 

 gegeven kromme noemen. Daarentegen zullen we de krommen, die 

 uil de gegeven kromme afgeleid worden door polarisatie t. o. van 

 een kegelsnede met o tol middelpunt, half -gelijkwaardig met de 

 gegeven kromme noemen. Onze uitkomst kan dan aldus geformuleerd 

 worden : 



Gelijkwaardige krommen hebben dezelfde functie /, half-gelijkwaardige 

 krommen hebben tegengestelde juncties I. 



Terwijl de gelijkwaardige krommen een groef) vormen, onderling 

 verbonden als ze zijn door de groep der homogene lineaire substituties, 

 vormen de gelijkwaardige krommen tezamen een z. g. uitgebreide 

 groep (Gruppe 2' n ' Art). De half-gelijkwaardige krommen kunnen uil 

 de gelijkwaardige verkregen worden, dooi' de groep der homogene 

 lineaire substituties uit te breiden met één z. g. pseudosubstitutu 

 (Substitulion 2" r Art), waarvoor we kunnen kiezen de polarisatie ten 

 opzichte van een bepaalde kegelsnede niet ( > lol middelpunt, b.v. ten 

 opzichte van xy = I . 



We kunnen dezen stand van zaken vergelijken met de groep der 



