( 59:; ) 



congruente vlakke figuren (onderling vei'bonden dooi r de transformaties 

 van de groep der bewegingen in 'l vlak), welke door spiegelingen 

 uitgebreid wordt tol de uitgebreide groep der congruente en symme- 

 trische vlakke figuren. De uitbreiding tot symmetrische figuren vereischt 

 nok slechts één spiegeling. 

 Uil (37) volgt nog 



dt, . dt, — q x dt^ = ,/t 2 . ' .' (4ii) 



De aangroeiing dr van de onafhankelijk-veranderlijke van den 

 standaard vorm [B\ is dus middelevenredig tusschen de aangroeiingen 

 van de kanonische onafhankelijk-veranderlijken behoorende bij de 

 gegeven kromme en bij de daarmee half-gelijkwaardige kromme. 



Wanneer een kromme K met zichzelf half-gelijkwaardig is, wil 

 dat zeugen, dat er een homogene lineaire transformatie 2 bestaat, 

 die de uit K door polarisatie ontstane kromme K' weer in K omzet. 

 In dit geval behoeft , hoewel (|, ?/) (afgezien van 2) aan dezelfde 

 vergelijking voldoet als {x, ?/), nog niet t/t., gelijk te zijn aan dt t . 

 Daarvoor toch is bovendien noodig, dat het punt P' van K' dat door 

 polarisatie uil het punt 1' van K ontstaan is, eveneens door de trans- 

 formatie -^ in liet punt 1' wordt teruggebracht. Is evenwel aan deze 

 laatste voorwaarde wèl voldaan, dan geldt ook dt l = dt a , dus^j=l 

 of gelijk aan een constante). De coördinaten van een punt van een 

 zoodanige kromme K voldoen dan aan de vergelijking 



.r" + .r = 0. 



De algemeene betrekking tusschen twee particuliere integralen van 

 deze vergelijking luidt 



Px* + ZQzy + Hf + S= 0. 



De eenige krommen, die aan de genoemde voorwaarde voldoen, 

 zijn dus de kegelsneden met middelpunt in < >, juist de krommen ten 

 opzichte waarvan de polarisatie plaats heeft. 



We kunnen de kanonische veranderlijke van de lijncoördinaten 

 ten eerste beschouwen als het perk, beschreven door den voerstraal 

 uit U van een punt van de door polarisatie voortgebrachte kromme. 

 Ze kan echter in de tweede plaats ook als volgt geïnterpreteerd worden. 



Noemen we o de loodlijn uil O op de raaklijn van 't punf {x,y 

 der gegeven kromme A" neergelaten, en 6 den hoek, welke deze 

 loodlijn met de X-as maakt, dan zijn o en 6 blijkbaar de poolcoör- 

 dinaten van een punt van de voetpuntskromme van K. 



Vergelijken we nu den normaalvorm van de vergelijking der raaklijn 

 Xcosd 4- Y sin — o = O 

 mei 



AuX + BvY -f 6' = 0. 



