Wiskunde. De Heer Brouwer biedt een mededeeling aan van den 

 Heer B. P. Haalmeyer: „Over e kmentairopperv lakken der 

 derde orde". (Eerste mededeeling). 



(Mede aangeboden door den Heer Hendrik de Vries). 



Inleiding. Het bestaan van reëele rechte lijnen op cubische opper- 

 vlakken is bekend. In Math. Ann. 76 tracht C. Juel het bestaan 

 van rechten aan te toonen op zekere oppervlakken der derde orde, 

 welke niet-analytisch worden gedefinieerd en welke hij elementair- 

 oppervlakken noemt. Zijne methoden zijn echter niet steeds over- 

 tuigend, en sommige condities welke hij aan zijne oppervlakken 

 stelt, lijken gezocht en weinig bevredigend. In het volgende zal ge- 

 poogd worden om elementairoppervlakken der derde orde op natuur- 

 lijke wijze in te voeren en het bestaan van minstens één rechte op 

 zulk een oppervlak te bewijzen. Ons uitgangspunt wordt gevormd 

 door de theorie der elementairkrommen der derde orde, welke Juel 

 uitvoerig heeft ontwikkeld in de Verslagen der Deensche Academie, 7de 

 serie, t. 11 n. 2. Verder zullen we hoofdzakelijk gebruiken bekende 

 theorema's uit de Analysis Situs en de theorie der puntverzamelingen. 



Bij de uitvoering van dit onderzoek zijn vele opmerkingen ver- 

 werkt, welke ik verschuldigd ben aan Prof. L. E. J. Brouwer, die 

 ook mijn aandacht op dit onderwerp heeft gevestigd. 



Definities en formuleering van het probleem. Een open Jordansche 

 kromme, die tezamen met het rechtelijnsegment tusschen haar eind- 

 punten de grens van een convex gebied vormt, wordt genoemd 

 convexboog. Deze convexbogen vormen het bouwmateriaal voor de 

 elementairkrommen. Laat een puntverzameling bestaan uit een eindig 

 aantal convexbogen zóó, dat zij het continue beeld is van een cirkel. 

 Aan elk punt van den cirkel moet één en niet meer dan één punt 

 der verzameling beantwoorden. Verder moet de raaklijn (steunlijn, 

 Stiitze) continu veranderen met het correspondeerende punt van den 

 cirkel, en ten slotte mag de puntverzameling geen rechtelijnsegmenten, 

 maar wel heele rechten bevatten. Een afgesloten puntverzameling, 

 bestaande uit een eindig of aftelbaar oneindig aantal der hierboven 

 gedefinieerde verzamelingen, noemt men een elementairkromme. Ge- 

 isoleerde punten worden toegelaten, hoewel raaklijnen in de gewone 

 beteekenis daar verdwijnen. 



