59 



Men noemt een elementairkrom me van de n-de orde, wanneer 

 rechten bestaan welke n, maar geen rechten welke meer dan n 

 punten met de kromme gemeen hebben (tenzij de kromme de geheele 

 rechte bevat). 



In hoofdzaak zullen wij beschouwen elementairkrommen der derde 

 orde. We laten hier volgen eenige der resultaten van Juel welke 

 het meest gebruikt zullen worden. 



De mogelijke vormen van elementairkrommen der derde orde zijn: 



1. Eén enkele trek van de derde orde zonder dubbelpunt of 

 keerpunt. 



2. Eén enkele trek van de derde orde met keerpunt (dit zijn 

 doornkeerpunten, snavelkeerpunten kunnen niet voorkomen). 



3. Eén enkele trek van de derde orde met dubbelpunt (d.i. een 

 trek van de derde orde en een van de tweede l ) die alleen het 

 dubbelpunt gemeen hebben en daar elk een hoek vormen). 



4. Eén trek van de derde en één van de tweede orde l ) (d. i. 

 ovaal, grens van convex gebied) die geen punten gemeen hebben. 



5. Eén trek van de derde orde en een geïsoleerd punt. 



6. Rechte en ovaal x ). 



7. Rechte en geïsoleerd punt. 



8. Drie rechten. 



Als snijpunt met rechte tellen : 



dubbel: gewoon punt (d. i. inwendig punt van convexboog) op 

 raaklijn, geïsoleerd punt op elke lijn, keerpunt op elke lijn behalve 

 op keerpuntsraaklijn, en dubbelpunt op elke lijn behalve op de 

 nadere raaklijnen. 



drievoudig: buigpunt op raaklijn, keerpunt op raaklijn en dubbel- 

 punt op nadere raaklijnen. 



Andere snijpunten tellen steeds enkel. 



We definieeren als elementair o pperv/ak der derde orde F 3 een 

 puntverzaineling in de projectieve R s , welke de volgende twee eigen- 

 schappen heeft 2 ) : 



1. F' beantwoordt aan de meest algemeene definitie van twee- 

 dimensionaal continuüm 3 ). 



: ) Deze krommen der tweede orde kunnen naar of door liet oneindige gaan. 

 We denken onze figuren steeds in de projectieve ruimte. 



2 ) Het zal wel aanbeveling verdienen om deze definitie nog iets ruinier te maken. 

 Om kegelpunten toe te laten moet de eerste conditie ruimer gelornnileerd werden. 

 terwijl om degeneraties mogelijk te maken beide condities moeien worden herzien. 



De definitie zal ten slotte zoo moeten worden opgesteld, dat geen essentieeio veran- 

 deringen noodig zijn om oppervlakken van hoogere orde dan de derde te definieeren. 



8 ) Zie Brouwer, Malh. Anu. 71, p. 1*7 en volgende. 



