60 



2. Elke vlakke doorsnede van F* is een elementairkromme dei- 

 derde orde. 



We gaan bewijzen dat de onderstelling volgens welke F s geen 

 enkele rechte zon bevatten tot een contradictie voert. Daarmee is 

 dan aangetoond dat F* minstens één rechte bevat. Het bewijs is 

 gesplitst in twee deelen : 



In het eerste deel toonen we aan : de raaklijnen aan vlakke door- 

 sneden gaande door een willekeurig punt A van F*, dat niet gelegen 

 is op een rechte van F s , vormen een plat vlak, dat we noemen 

 raakvlak aan F z in A. Er kan slechts één uitzonderingspunt zijn 

 dat het volgende karakter vertoont: het is geïsoleerd in elk vlak 

 behalve in de vlakken door één lijn en in deze is het keerpunt met 

 die lijn tot raaklijn. 



In het tweede deel wordt de genoemde tegenstrijdigheid afgeleid uit 

 de onderstelling dat geen enkel punt van zekere vlakke doorsnede 

 gelegen is op een rechte van F % , wat neerkomt op de aanname dat 

 F 1 geen enkele rechte bevat. 



Eerste deel. De stelling wordt als volgt gesplitst : 



1. Wanneer A geïsoleerd is in een vlak a, dan is « raakvlak in 

 A of A is uitzonderingspunt. 



2. Er is hoogstens één uitzonderingspunt mogelijk. 



3. Wanneer A dubbelpunt is in een vlak « en keerpunt in niet 

 meer dan één vlak, dan is « raakvlak. 



4. Wanneer A keerpunt is in één en niet meer dan één vlak a, 

 dan is o raakvlak. 



5. Wanneer A keerpunt is in twee verschillende vlakken, dan is 

 A uitzonderingspunt. 



6. Door A gaat minstens één vlak waarin A is hetzij geïsoleerd-, 

 hetzij dubbel-, hetzij keerpunt. 



§ 1. Wanneer A geïsoleerd is in een vlak et, dan is a raakvlak 

 of A is uitzonderingspunt. 



We beginnen met een vlak te construeeren waarin A niet geïso- 

 leerd is. De omgeving van A op F* is het (1,1) continue beeld van 

 de omgeving van een punt in een plat vlak, dus kan een fundamen- 

 taalreeks van punten A,,A„A a .... op F* gekozen worden met A 

 als eenig grenspunt. Zij a een willekeurige lijn door A in a en 



&>&i & de vlakken door a en A x , A„, A s . . . . respectievelijk. 



Deze vlakken hebben minstens één limietvlak p door a. Wanneer 

 A geïsoleerd is in elk der vlakken &, & . . . , laten we zien dat A 

 niet geïsoleerd is in /?. 



